Geometria - help me?

[rybb]

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por rybb em Ter Ago 25, 2009 06:48

- Uma estação de tratamento de água [ETA] localiza-se a 600 m de uma estrada reta.
Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 100 m da ETA. Pretende-se
construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações.
A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:
Resposta: 625 m

- Como chegar a esse resultado?

[Molina]

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por rybb em Ter Ago 25, 2009 06:48

- Uma estação de tratamento de água [ETA] localiza-se a 600 m de uma estrada reta.
Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 100 m da ETA. Pretende-se
construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações.
A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:
Resposta: 625 m

- Como chegar a esse resultado?

Boa tarde.

Estava tentando resolver esse problema transformando-o em algo da geometria analítica. As estações e o restaurante seriam representados por pontos e a estrada por uma reta. Porém, temos um problema. A distância da ETA até a estrada (distância de ponto a reta) é dado pela menor distância entre estes, formando uma reta ortogonal. E esta distância é menor do que qualquer outra distância de outro ponto desta reta até o ponto que está fora (ETA), logo, o ponto Estação de Rádio, localizado na reta Estrada não pode distância menor até o ponto ETA. E pelo enunciado é isso que ocorre:

Do ponto ETA até a reta Estrada: 600m
Do ponto ETA até o ponto Estação de Rádio (localizado em Estrada): 100m

A explicação não ficou das melhores.
Caso eu não tenha sido claro, favor informar que eu faço um esboço do que quero falar.

Abraços,

[Elcioschin]

Certamente existe um erro no enunciado: Para a Estação de Rádio ficar na estrada ele deve distar da ETA uma distância MAIOR do que 600 m ----> 100 m é impossível

Acho que a distância entre as duas estações deve ser 1000 metros.

Faça um esquema:

Desenhe uma estrada reta horizontal AB com 800 m de comprimento (em escala). Ponto B é Estação de Rádio.
Pelo ponto A trace uma reta vertical, para cima, até um ponto P (AP = 600 m). Este ponto P é a ETA.
Note que a distãncia PB = 1000 m (hipotenusa do triângulo retângulo BAP).
Marque um ponto R na estrada distante 175 m de A. Este ponto é o restaurante. Lique R ao ponto P.
Note, na figura que PR deve ser igual a BR.

Demonstração:

No triângulo retângulo PAB ----> AP² + AB² = BP² -----> 600² + AB² = 1000² ----> AB = 800

Seja AR = x ----> BR = 800 - x ----> PR = 800 - x

No triângulo retângulo PAR ----> AP² + AR² = PR² -----> 600² + x² = (800 - x)² ----> 600² + x² = 800² - 1 600*x + x²

1 600*x = 800² - 600² ----> 1 600*x = 280 000 ----> x = 175 m

A distância d do restaurante a cada uma dsa estações vale ----> d = 800 - x ----> d = 800 - 175 ----> d = 625 m

[Molina]

Foi isso mesmo que eu imaginei, Elcio.

Muito boa a explicação.

Abraços!