Calcule a medida do ângulo BNP formado dentro do losango

[andersontricordiano]

No triangulo ABC, AB = 20cm, BC= 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8cm². A medida, em graus do ângulo BNP é ?

A resposta desse exercício é: 30°

Nesse exercício eu consegui chegar até o valor dos lados do losango que é 2 .Mas eu não sei como fazer para achar os valores das diagonais D e d do losango formado dentro do triângulo para depois chegar o valor do grau.Por favor me ajudem!

triaangulo.jpg

[Elcioschin]

Lado do losango = L

M^PN = M^BN = y

B^MP = B^NP = x

2x + 2y = 360º ----> x + y = 180º ----> x/2 + y/2 = 90º ----> cos(y/2) = sen(x/2)

Sejam D, d as diagonais

AM/MP = AB/BC -----> (20 - L)/L = 20/4 ----> L = 4 cm

MN = BM*cos(x/2) + BN*cos(x/2) -----> D = 2*L*cos(x/2) ----> D = 8*cos*(x/2)

BP = MB*cos(y/2) + MP*cos(y/2) -----> d = 2*L*cos(y/2) -----> d = 8*sen(x/2)

S = d*D/2 -----> 8 = [8*sen(x/2)]*[8*cos(x/2)]/2 ----> 16 = 32*[2*sen(x/2)*cos(x/2)] ----> senx = 1/2 ----> x = 30º