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[artigo] círculo unitário e algumas relações trigonométricas

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[artigo] círculo unitário e algumas relações trigonométricas

Mensagempor admin » Ter Jun 03, 2008 17:03

A partir desta representação exemplo do círculo unitário, podemos visualizar a origem de algumas relações trigonométricas, utilizando semelhança entre os triângulos e o teorema de Pitágoras:

relacoes_trigonometricas_no_circulo_unitario.jpg


Raios do círculo:
OB = OE = OF = 1

Aplicação direta do teorema de Pitágoras:
sen^2 x+cos^2 x = 1

sec^2 x = tg^2 x + 1

cosec^2 x = cotg^2 x + 1


Obtemos a tangente a partir da semelhança entre os triângulos OAF e OBC, pelo caso ângulo-ângulo:
\frac{AF}{OA} = \frac{BC}{OB}

\frac{sen x}{cos x} = \frac{tg x}{1}

tg x = \frac{sen x}{cos x}


A secante, também por semelhança entre os mesmos triângulos:
\frac{OC}{OF} = \frac{OB}{OA}

\frac{sec x}{1} = \frac{1}{cos x}

sec x = \frac{1}{cos x}


Já a cotangente, por semelhança entre os triângulos OED e OAF, também pelo caso AA pois o ângulo O\hat{D}E = x:
\frac{ED}{OA} = \frac{OE}{AF}

\frac{cotg x}{cos x} = \frac{1}{sen x}

cotg x = \frac{cos x}{sen x}



E a cosecante, também por semelhança entre os triângulos OED e OAF, segue diretamente desta relação:
\frac{OD}{OF} = \frac{OE}{AF}

\frac{cosec x}{1} = \frac{1}{sen x}

cosec x = \frac{1}{sen x}
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Re: [artigo] círculo unitário e algumas relações trigonométr

Mensagempor Neperiano » Sex Set 16, 2011 19:48

Ola

Acho que isto deveria estar num lugar bem visivel para varias pesosas verem, visto que há muitas questões que o problema é exatamente no ciclo ou circulo trinognométrico.

Atenciosamente
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}