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Cães conhecem Cálculo?

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Cães conhecem Cálculo?

Mensagempor Molina » Sáb Jul 19, 2008 16:32

Um pesquisador fez o seguinte experimento com seu cão:
Localizado num ponto A, ao lado de seu cão e na margem de um rio de 10 metros de largura, o pesquisador lança um disco na margem oposta desse rio, num ponto B, localizado a uma distância de 100 metros do ponto A (medida paralelamente à margem do rio). O cão então segue em busca do disco, percorrendo uma parte do trajeto por terra e a uma valocidade {V}_{T}=10 m/s e mergulhando no rio num ponto C, percorrendo outra parte do trajeto na água com velocidade {V}_{A}=4 m/s. Medindo a distância entre A e C, ele encontrou 96m.
Mais tarde, calculando a que distância do ponto A o cão deveria pular na água afim de que o tempo para chegar até o disco fosse minimizado, o pesquisador encontrou um resultado surpriendente:

Fazendo um esboço do problema, temos:
Imagem
onde a linha em vermelho foi o trajeto percorrido pelo cão.

O tempo gasto em terra é: {t}_{T}=\frac{{S}_{T}}{{V}_{T}}=\frac{100-x}{10}=10-\frac{1x}{10}

O tempo gasto na água é: {t}_{A}=\frac{{S}_{A}}{{V}_{A}}=\frac{\sqrt[]{100+{x}^{2}}}{4}

O tempo total é uma função de x: t(x)={t}_{T}+{t}_{A}=10-\frac{1x}{10}+\frac{\sqrt[]{100+{x}^{2}}}{4}

Era necessário encontrar o ponto de mínimo absoluto dessa função, ou seja, o ponto em que o cão pulou na água realizando o menor tempo possível. Para isso, deriva-se a função:
t'(x)=-\frac{1}{10}+\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}

Para saber o mínimo absoluto a derivada tem que ser igual a ZERO, logo:
t'(x)=0\Rightarrow-\frac{1}{10}+\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}=0\Rightarrow\frac{1}{10}=\frac{x}{4\sqrt[2]{100+{x}^{2}}}\Rightarrow x=\frac{20}{\sqrt[]{21}}

Este é um ponto de mínimo local e absoluto, pois a t``(x) (segunda derivada) é igual a \frac{25}{{(100+{x}^{2})}^{\frac{1}{2}}} que é maior que ZERO \forall x\in R. Logo o gráfico é côncavo para cima e no ponto x=\frac{20}{\sqrt[]{21}} ocorre t'(x)=0, o que garante que x=\frac{20}{\sqrt[]{21}} é o ponto onde ocorre o valor mínimo absoluto.

Agora o mais impressionante:
\frac{20}{\sqrt[]{21}}=4,364357...

100-4,364357...=95,635664...\approx96

:idea: CONCLUSÃO: CÃES CONHECEM CÁLCULO! :idea:
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Re: Cães conhecem Cálculo?

Mensagempor Cleyson007 » Qua Jun 17, 2009 11:20

Olá Molina!

Esse exercício é interessente hein...

Esse cão é super dotado rsrsrsrsrrs.

Muito bom!!!

Até mais.

Um abraço.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.