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[artigo] Uma dedução comentada da fórmula de Bhaskara

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[artigo] Uma dedução comentada da fórmula de Bhaskara

Mensagempor admin » Qui Mai 15, 2008 15:44

Sendo f uma função do segundo grau, temos:
f(x) = ax^2+bx+c

Com a,b,c \in \Re e a\neq 0.


O objetivo é encontrar uma expressão que determine as raízes desta função.
Ou seja, quais os valores para x onde:
f(x) = 0


Portanto, o que de fato buscamos é "isolar" x nesta equação:

ax^2+bx+c = 0

Vamos dividir por a os dois membros da equação.


\frac{ax^2+bx+c}{a} = \frac{0}{a}

\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} = \frac{0}{a}

1\cdot x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0

Agora, subtrairemos \frac{c}{a}:


x^2+\frac{b}{a}x+\underbrace{\frac{c}{a} - \frac{c}{a}}_{=0} = 0 - \frac{c}{a}

x^2+\frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}

Antes de prosseguir, lembre-se de um quadrado perfeito, onde:

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

Proveniente da propriedade distributiva (a+b)\cdot (a+b).

Vamos "criar" um quadrado perfeito no primeiro membro da equação.
Para facilitar a visualização, vamos reescrever o quadrado perfeito com outras letras:
(x+z)^2 = x^2+2xz+z^2

Se chamarmos \frac{b}{a}x = 2xz, assim:


x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} = - \frac{c}{a}

Podemos somar e em seguida subtrair z^2, sem alterarmos a equação, pois z^2-z^2 = 0


x^2+\underbrace{\frac{b}{a}x}_{=2xz} + z^2 - z^2 = - \frac{c}{a}

De modo que assim podemos destacar um quadrado perfeito:


\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ z^2}_\text{quadrado perfeito} - z^2 = - \frac{c}{a}

E fazendo a substituição da variável z, lembrando que:
\frac{b}{a}x = 2xz

\frac{b}{a} = 2z

z = \frac{b}{2a}



\underbrace{x^2+\frac{b}{a}x+ \left( \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}

Com o quadrado perfeito visualizado, vamos reescrever a equação:


\underbrace{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2}_\text{quadrado perfeito} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = - \frac{c}{a}

Somando \left( \frac{b}{2a} \right)^2 nos dois membros:


\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}

\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}

\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

Deixando o segundo membro com o mesmo denominador (m.m.c.):


\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2- 4ac}{4a^2}

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:


\sqrt{\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2} = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}

Aqui, cuidado, note que:

\sqrt{\alpha^2} = |\alpha|

Pois como \alpha \in \Re está elevado ao quadrado e a raiz deve ser positiva, eis o papel do módulo: garantir que o resultado da raiz seja positivo, mesmo que \alpha seja negativo.

Lembrando a definição de módulo:
|\alpha| = \left\{
\begin{matrix}
\alpha & se & \alpha \geq 0 \\
-\alpha & se & \alpha < 0 \\
\end{matrix}
\right.

Veja em um exemplo o papel e importância do módulo, com \alpha = -2:
\sqrt{(-2)^2} = |-2| = 2

De fato, pois:
\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2

Veja o que aconteceria se não utilizássemos o módulo:
\xcancel{
\begin{array}{l}
\sqrt{\alpha^2} = \alpha \\ \\
\sqrt{(-2)^2} = -2
\end{array}
}
Não deve ocorrer no conjunto dos números reais.

Após estas observações, vamos utilizar módulo na simplificação da raiz:


\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \sqrt{\frac{b^2- 4ac}{4a^2}}

Separando as raízes do segundo membro, numerador e denominador:


\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{\sqrt{4a^2}}

Extraindo a raiz do denominador e novamente, o módulo aparece:


\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2|a|}

Igualmente, também podemos escrever assim:


\left| x+ \frac{b}{2a} \right| = \left| \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \right|

E pela definição de módulo:


x + \frac{b}{2a}=\left \{\begin{matrix} \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
& \text{se} & x + \frac{b}{2a} \geq 0
 \\ \\
\frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
& \text{se} & x + \frac{b}{2a} < 0
 \end{matrix}\right.


Subtraindo \frac{b}{2a} dos dois membros:


x =\left \{\begin{matrix}
- \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \\ \text{ou} \\
- \frac{b}{2a} + \left( \frac{- \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)
 \end{matrix}\right.


x =\left \{\begin{matrix}
\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \\ \text{ou} \\
\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
 \end{matrix}\right.


x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}

(fórmula de Bhaskara)

Como nos reais o radicando desta raiz \sqrt{b^2- 4ac} deve sempre ser positivo, ele é freqüentemente avaliado (estudo de sinal), chamado de discriminante (Delta):

\Delta = b^2-4ac


x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Portanto, as raízes de uma função do segundo grau f(x) = ax^2+bx+c, são obtidas pela expressão:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Sendo que:
Se \Delta > 0, as duas raízes são reais e distintas;
Se \Delta = 0, há um par de raízes reais e iguais;
Se \Delta < 0, há um par de raízes complexas.
Fábio Sousa
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?