Com e .
O objetivo é encontrar uma expressão que determine as raízes desta função.
Ou seja, quais os valores para onde:
Portanto, o que de fato buscamos é "isolar" x nesta equação:
Vamos dividir por os dois membros da equação.
Agora, subtrairemos :
Antes de prosseguir, lembre-se de um quadrado perfeito, onde:
Proveniente da propriedade distributiva .
Vamos "criar" um quadrado perfeito no primeiro membro da equação.
Para facilitar a visualização, vamos reescrever o quadrado perfeito com outras letras:
Se chamarmos , assim:
Podemos somar e em seguida subtrair , sem alterarmos a equação, pois
De modo que assim podemos destacar um quadrado perfeito:
E fazendo a substituição da variável , lembrando que:
Com o quadrado perfeito visualizado, vamos reescrever a equação:
Somando nos dois membros:
Deixando o segundo membro com o mesmo denominador (m.m.c.):
Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:
Aqui, cuidado, note que:
Pois como está elevado ao quadrado e a raiz deve ser positiva, eis o papel do módulo: garantir que o resultado da raiz seja positivo, mesmo que seja negativo.
Lembrando a definição de módulo:
Veja em um exemplo o papel e importância do módulo, com
De fato, pois:
Veja o que aconteceria se não utilizássemos o módulo:
Não deve ocorrer no conjunto dos números reais.
Após estas observações, vamos utilizar módulo na simplificação da raiz:
Separando as raízes do segundo membro, numerador e denominador:
Extraindo a raiz do denominador e novamente, o módulo aparece:
Igualmente, também podemos escrever assim:
E pela definição de módulo:
Subtraindo dos dois membros:
(fórmula de Bhaskara)
Como nos reais o radicando desta raiz deve sempre ser positivo, ele é freqüentemente avaliado (estudo de sinal), chamado de discriminante (Delta):
Portanto, as raízes de uma função do segundo grau , são obtidas pela expressão:
Sendo que:
Se , as duas raízes são reais e distintas;
Se , há um par de raízes reais e iguais;
Se , há um par de raízes complexas.