• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Limite de várias variáveis

Materiais sobre Cálculo.
Utilize a seção de pedidos para outros que não estejam disponíveis.

As fontes dos arquivos serão diversas e deverão ser citadas sempre que possível, mantendo totalmente os créditos dos respectivos autores.
Regras do fórum

  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Limite de várias variáveis

Mensagempor braddock » Seg Mai 05, 2014 04:06

Estou tendo um problema no seguinte limite, x e y tendem a 0, sei que o limite vai dar zero, mas não consigo resolver... se alguém conseguir me ajudar, ficaria grato

xsin(\frac{1}{x^2+y^2})
braddock
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 2
Registrado em: Seg Mai 05, 2014 03:57
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Eletrônica
Andamento: cursando

Re: Limite de várias variáveis

Mensagempor e8group » Seg Mai 05, 2014 10:59

Dica :

Limite de funções da forma que ( u * v ) é zero sempre que uma delas é limitada e o limite da outra é zero .

Sejam h,f, g : A \subset \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb {R} . Defina h(x_1,\hdots , x_n) = h(X) =f(x_1,\hdots , x_n) \cdot g(x_1,\hdots , x_n) = f(X) \cdot g(X) . Suponha g limitada , isto é , existe algum M > 0 tal que |g(X)| \leq M para qualquer que seja o vetor X em A .

Se para algum X_0 \in A', temos \lim_{X \to X_0} f(X) = 0 então \lim_{X \to X_0} h(X) = 0 .
(A' representa o conjunto dos ponto de acumulação de A)

De fato ,

\lim_{X \to X_0} h(X) = 0  \iff   \forall \epsilon > 0  , \exists \delta(\epsilon) > 0     (*) tal que se

0 < || X - X_0|| < \delta então |h(X) | < \epsilon    (**) .

Segue-se que

|h(X) | = |f(X)| |g(X) | < |f(X)| M .

Além disso , por hipótese \lim_{X \to X_0} f(X) = 0 , o que significa que dado \epsilon_1 > 0 existe um \delta_1 > 0 (correspondente) tal que

0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1) implica |f(X)| < \epsilon_1 .

Logo ,

0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1) implica |h(X)|= |f(X)| |g(X) | \leq M|f(X)| <  M \epsilon_1 .

Como a relação acima é verdadeira para qualquer \epsilon_1 > 0 , dado \epsilon > 0 podemos tomar \epsilon_1  =  \frac{\epsilon }{M} e com isso temos

0 <|| X - X_0|| < \delta(\epsilon_1) implica |h(X)|= |f(X)| |g(X) | \leq  M|f(X)| <  M \epsilon_1 =  \epsilon .

Ou seja, dado \epsilon > 0 , tomando \delta = \delta(\epsilon_1) conseguimos um \delta > 0 tal que se (o lardo esquerdo da implicação é verdeiro o lado direito também o é )

0 <|| X - X_0|| < \delta \implies    |h(X)| < \epsilon .

É o que exatamente diz em (*) , (**) .

Agora com absoluta certeza podemos afirmar que \lim{X\to X_0} h(x) = 0 .

Espero que ajude .

Para exemplificar

Seja h(x_1,\hdots , x_n) =  h(X) =  \frac{ (\sum_{i=1}^k x_i^2 )(epx(\sum_{i=1}^n x_i )  - 1 )}{\sum_{i=1}^n x_i^2} (onde : k < n )

Temos que \lim_{X \to  O_{\mathbb{R}^n }}  h(X) = 0 ( onde O_{\mathbb{R}^n = vetor nulo do R^n ) , pois

como k < n , então \sum_{i=1}^k x_i^2  \leq     \sum_{i=1}^n x_i^2 e assim

\frac{  \sum_{i=1}^k x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2} \leq 1   , \forall X \neq  O_{\mathbb{R}^n . Seja g(X) = \frac{ \sum_{i=1}^k x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2} e f(X) = exp(\sum_{i=1}^n x_i^2) -  1 .

Temos que g é limitada (por 1) e o limite de f é zero quando X tende ao vetor nulo , logo o limite de h também é zero .

Mais um exemplo ...


Se h(X) = (x_1 + \hdots  + x_n )^n  sin((x_1 + x_2 + \hdots +  x_n )^{- e^2 }) . Temos

\lim_{X \to O_{\mathbb{R}^n} \ } h(X) = 0 (Pq ??)

Espero que ajude .
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando

Re: Limite de várias variáveis

Mensagempor braddock » Seg Mai 05, 2014 22:17

Ajudou muito sim, muito obrigado.
braddock
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 2
Registrado em: Seg Mai 05, 2014 03:57
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Eletrônica
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}