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(Limites) Encontrar as constantes

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(Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Haahs » Qua Nov 04, 2009 00:32

Olá, galera

Estou resolvendo uma lista de cálculo e gostaria de uma ajuda de vocês. Como sou da área de biológicas está sendo um pouco complicado relembrar alguns conceitos. Duas questões em específico tem me tirado o sono (hehe!), já tentei resolver algumas vezes mas sempre empaco em algum lugar. Uma delas é a seguinte:

O enunciado quer que se encontre as constantes da função, de modo que:

1. \lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}

Eu tentei resolver primeiramente tirando a constante b e colocando para fora, e em seguida multiplicando pelo conjugado \frac{\sqrt{x+3}+a}}{\sqrt{x+3}+a} , chegando ao seguinte:

\lim_{x\rightarrow1} \frac{b(x+3 - {a}^{2})}{(x-1)(\sqrt{x+3}+a)} = \frac{1}{6}

Mas depois disso não consigo chegar ao ponto de conseguir um sistema para resolver para "a" e "b", nem consigo tirar o (x-1) que está zerando o denominador.

Please, help!
Haahs
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Haahs » Sáb Nov 07, 2009 00:43

Ninguém? :-(
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Molina » Sáb Nov 07, 2009 12:16

Haahs escreveu:Ninguém? :-(

Bom dia, amigo.

Pra não te deixar sem resposta, vou informar o que eu tentei (mas também sem sucesso...)

\lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}

\lim_{x\rightarrow1} \left( \frac{b\ \sqrt{x+3}}{x-1}- \frac{a}{x-1} \right) = \frac{1}{6}

\lim_{x\rightarrow1}  \left( \frac{b\ \sqrt{x+3}}{x-1} \right)- \lim_{x\rightarrow1}\left( \frac{a}{x-1} \right)  = \frac{1}{6}

b*\lim_{x\rightarrow1}  \left( \frac{ \sqrt{x+3}}{x-1} \right)- a*\lim_{x\rightarrow1}\left( \frac{1}{x-1} \right)  = \frac{1}{6}

Agora teria que desenvolver esses dois limites, só que não conseguir fazer a "jogada" pra no denominador não dar 0.

:n:

Boas tentativas...
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Haahs » Sáb Nov 07, 2009 13:29

Obrigado pela tentativa, Molina! Eita, esse limite realmente tá pegando mesmo, hehe.. tá faltando o "pulo do gato"!

Vou continuar pensando nele, mas se alguém por aí tiver mais idéias, sintam-se à vontade!

Ah, a resposta é: a = 4/3 e b = 2/3.
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Lucio Carvalho » Sáb Nov 07, 2009 17:41

Olá Haahs,
Certo! As constantes são:
a = 4/3
b = 2/3

Aqui vai uma possível resolução.

{lim}_{x\rightarrow1}=\frac{b.\sqrt[]{x+3}-a}{x-1}={lim}_{x\rightarrow1}=\frac{b.\sqrt[]{x+3}-a}{x-1}.\frac{b.\sqrt[]{x+3}+a}{b.\sqrt[]{x+3}+a}

{lim}_{x\rightarrow1}=\frac{{b}^{2}(x+3)-{a}^{2}}{(x-1)(b.\sqrt[]{x+3}+a)}

Em seguida construímos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

{b}^{2}(x+3)-{a}^{2}=(x-1)

b.\sqrt[]{1+3}+a=6

-----------------------------------------

{b}^{2}x+3{b}^{2}-{a}^{2}=x-1

2b+a=6

-----------------------------------------------
Ficamos, assim, a saber que:

{b}^{2}=-(3{b}^{2}-{a}^{2})

2b+a=6

--------------------------------------------

4{b}^{2}={a}^{2}

{b}^{2}=\frac{2b+a}{6}

------------------------------------------

Assim:

a=2b

6{b}^{2}-2b-2b=0
6{b}^{2}-4b=0
b(6b-4)=0

Finalmente: b = 4/6 = 2/3
a = 2.b = 4/3
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Haahs » Seg Nov 09, 2009 02:00

Oi Lúcio! Muito obrigado pela resolução!

Agora me surgiram algumas dúvidas:

Lucio Carvalho escreveu:Em seguida construímos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

{b}^{2}(x+3)-{a}^{2}=(x-1)

b.\sqrt[]{1+3}+a=6

-----------------------------------------

{b}^{2}x+3{b}^{2}-{a}^{2}=x-1

2b+a=6

-----------------------------------------------


Não ficou claro pra mim o motivo de podermos igualar todo o numerador a (x-1), intuitivamente eu colocaria ele igual a 1, já que a questão diz que este limite é igual a \frac{1}{6}, mas pela resposta encontrada esse raciocínio e´ errado. Será que você poderia explicar?

Obrigado!
Haahs
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor uefs » Sáb Abr 19, 2014 20:27

questão parecida como calcular

Estou resolvendo uma lista de cálculo e gostaria de uma ajuda de vocês. Como sou da área de biológicas está sendo um pouco complicado relembrar alguns conceitos. Duas questões em específico tem me tirado o sono (hehe!), já tentei resolver algumas vezes mas sempre empaco em algum lugar. Uma delas é a seguinte:

O enunciado quer que se encontre as constantes da função, de modo que:

1. \lim_{x\rightarrow1} \frac{b\ \sqrt{x+3} -a}{x-1} = \frac{1}{6}

Eu tentei resolver primeiramente tirando a constante b e colocando para fora, e em seguida multiplicando pelo conjugado \frac{\sqrt{x+3}+a}}{\sqrt{x+3}+a} , chegando ao seguinte:

\lim_{x\rightarrow1} \frac{b(x+3 - {a}^{2})}{(x-1)(\sqrt{x+3}+a)} = \frac{1}{6}
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Re: (Limites) Encontrar as constantes

Mensagempor Lucio Carvalho » Dom Abr 20, 2014 20:32

Olá uefs,
Segue, em anexo, mais uma tentativa de ajuda.
Espero que ajude a compreender.
Você não está autorizado a ver ou baixar esse anexo.
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


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Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


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