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[algebra] Equações de 1º grau.

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[algebra] Equações de 1º grau.

Mensagempor TheoFerraz » Seg Out 17, 2011 21:03

Gente, estava explicando equaçoes de 1º grau pra uma moça no chat, e o chat ficou pequeno demais. Vou fazer um breve resumo aqui. Se ficar ruim joguem fora não tem problema =PPP
Eu tive duvidas quanto ao local que eu deveria postar esse "Tutorial" mas acho que aqui é apropriado.

Equações de 1º grau.

-Equações são afirmaçoes matemáticas que dizem que alguma expressão matemática é igual a outra expressão

Exemplos:

\begin{align}
   X = 2 \\ 
   3 \times Y = 100 \\
   X + Y + Z = 4
\end{align}

As equaçoes de primeiro grau são aquelas que contem uma só incógnita. Mas antes de tudo... O que é uma incógnita ?

Uma incógnita é um numero que desconhecemos, mas sabemos algo sobre ele. por exemplo. ALGUM NUMERO menos 10 é igual a 20...
esse numero é o que em equações chamamos de incógnitas, e tudo o que faremos é tentar descobrir que numero é esse!

Para facilitar as coisas, costumamos chamar o "ALGUM NUMERO" de uma letra, por exemplo x, ou t, ou a... em fim

Entao basicamente o que queremos fazer é descobrir esses 'numeros escondidos' mas que estão presentes numa igualdade.
Vejamos essa igualdade pra começar :

x - 2 = 8

Quando olhamos essa igualdade, devemos pensar antes de tudo. Qual numero que quando voce tira 2 nós obtemos 8 ?
é nisso que se baseia o estudo das equações.
Nesse exemplo acima, algumas pessoas já percebem que x é na verdade o numero 10. Pessoas muito acostumadas com as operaçoes matemáticas... mas vejamos alguns métodos pra determinação do numero x.

Digamos que voce pode fazer QUALQUER coisa numa equação, contanto que voce faça dos dois lados a mesma coisa, mantendo a igualdade! Como numa balança em equilibrio! precisamos colocar o mesmo tanto de peso de cada lado para que a mesma continue em equilibrio.

Entao, observe :

x - 2 = 8

nós podemos fazer o que quisermos aqui. mas temos que manter em mente que queremos deixar o numero x sosinho do lado esquerdo da igualdade! entao vejamos. olhando só para o lado esquerdo, o que precisariamos fazer para obter apenas x e não x - 2 ?

simples, só precisamos somar 2! afinal x - 2 + 2 é x.
Fazendo isso de ambos os lados obteremos

x - 2 +2 = 8 + 2

x = 10

Se esse metodo ficou muito dificil pra voce, vamos tentar a mesma coisa só que de um jeito completamente diferente!

digamos que, eu posso "passar o -2 para o outro lado da equação, se eu inverter a sua operação"
Vou explicar melhor.
Qual a operação "inversa" da soma? a subtração!
entao eu posso "passar" o 2 que está subtraindo, para o outro lado, porém somando!

x - 2 = 8

passando o -2 como +2 temos :

x = 8 +2

x = 10

Bom. dai temos 2 metodos pra desvendar o "numero x" sempre que estiver somando alguma coisa ou subtraindo!

Exercicios. Tente fazer essas equações:

x + 2 = 1
x -10 = 4
x - 2 = 0

Legal, agora vamos usar as multiplicações e divisões!

vejamos outro tipo de equação:

3 \times x = 9

essa é outra equação! Qual numero que quando eu multiplico por 3 resulta no numero 9 ?
Novamente, pessoas que estao acostumadas a fazer muita conta diriam rapidamente que x = 3, afinal 3 \times 3 = 9

Mas vamos com calma. Vamos executar aquelas duas tecnicas para obter de verdade o nosso numero X.

a primeira tecnica era a de fazer a mesma coisa dos dois lados da equação! Vamos entao! O que nós podemos fazer para deixar o x sosinho do lado esquerdo ?
Se nós lembrarmos que qualquer numero multiplicado por um dá ele mesmo, já temos uma dica! precisamos "transformar" esse 3 em um numero 1
É só lembrarmos também que qualquer numero dividido por ele mesmo resulta em UM!
Vamos dividir por 3 ?

\frac{3 \times x}{3} = \frac{9}{3}

1 \times x  = \frac{9}{3}

x= \frac{9}{3}

x= 3
Ficou facil ? se nao ficou, vamos tentar aquele outro método. que na verdade é a mesma coisa só que visto de um outro jeito.

Qual a operação "inversa" à multiplicação ?
é a divisão!

Simples então! ao ver uma coisa como essa :

3 \times x = 9

simplesmente "passe o 3 para o outro lado" dividindo!

x = \frac{9}{3}

Exercicios, tente fazer o mesmo com esses :

2 \times x = 10
10 \times x = 10
\frac{x}{4}= 2

Agora por ultimo. vamos misturar todas as operações matemáticas!!! é assim que as coisas acontecem!

2 \times x - 10 = 20

Bom, sempre que toparmos com coisas do tipo, iremos primeiro atacar as somas ou subtrações!

Passando o -10 para o outro lado como +10 ficará

2 \times x  = 20 + 10

2 \times x  = 30

e vamos agora passar o 2 para o outro lado dividindo!

x  = \frac{30}{2}

x  = 15

Bom, ai está. Realmente espero ter ajudado. Se tiver ruim podem jogar fora =P

Grande abraço e bons estudos.
TheoFerraz
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D


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