Algebra Linear: Espaço Vetorial

por **Caeros** » Dom Nov 14, 2010 17:39

Olá caros;
Para que eu verifique se os espaços abaixo vetoriais V são realmente espaços vetoriais acredito que se deve aplicar as oito propriedades que definem o espaço vetorial mas realmente tenho dúvidas de como se faz isso, alguém pode me ajudar? :y:

$1.V={\Re}^{3},({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})+({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2});$
$\alpha(x,y,z)=(\alpha x,\alpha y,\alpha z).$

$2.V=\left({\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix};a,b \in\Re\right),$ operações usuais de ${M}_{2}(\Re)$ .

$3.V={(x,y)\in{\Re}^{2};3x-2y=0},$ operações usuais de ${\Re}^{2}$

por **Caeros** » Seg Nov 15, 2010 17:40

Me ajudem! :coffee:

Tentativa para a resposta do item 1:
primeiro que se trata de um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas
$({\Re}^{3})$ ;
Podemos representar os vetores dados por $u=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})$ e
$v=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})$
então $u + v = ({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2})$
e $\alpha .v = (\alpha {x}_{2},\alpha {y}_{2},\alpha {z}_{2})$
como indicadas nas operações.
Como são retas orientadas têm origem fixada para o espaço representada pelo vetor nulo (0, 0, 0).
Acho que seria o suficiente para verificar que sim é espaço vetorial ou temos que verificar todas as oito propriedades? Porque se uma delas não der certo então não é espaço vetorial, preciso saber!

por **andrefahl** » Ter Nov 16, 2010 00:13

Meu caro, é o seguinte

para verificar se é realmente espaço vetorial vc tem que verificar os oito axiomas,
mas para dizer que não é espaço basta apenas dar um contra exemplo.

esqueça esse negocio de retas orientadas nesse momento,
o que realmente interessa nesses problemas é a soma definida para dois elementos
e a muliplicação por um escalar.

com isso vc verifica os oito axiomas.

a soma sejam u, v pertencentes a R^3 t.q u=(x_1,y_1,z_1) e v = (x_2,y_2,z_2)

R^3 t.q u=(x_1,y_1,z_1) e v = (x_2,y_2,z_2)

entaum

u + v = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_2 + x_1, y_2 + y_1, z_2 + z_1) = (x_2,y_2,z_2) + (x_1,y_1,z_1) = v + u

para qq u ,v pertencente a R^3

ta ai o da soma =D

no caso de vetor nulo nesse problema do R^3

vc tem que

0. u = 0_v

onde

é o vetor nulo. é uma propriedade que 0 vezes o qq elemento eh o vetor nulo.
e nao pq saum retas e passam pela origem.. isso naum seria uma boa justificativa e em outros espaços vc naum
conseguiria mostra isso , por exemplo nos polinomios =)

dai 0.u = 0 (x_1,y_1,z_1) = (0x_1, 0y_1,0z_1) = (0,0,0)

0.u = 0 (x_1,y_1,z_1) = (0x_1, 0y_1,0z_1) = (0,0,0)

(lembrando que a multiplicaçao por escalar eh definida no começo, mas aqui é a op usual) ta ai o vetor nulo...
os outros ficam por sua conta =D

att

ps.: no item 3 as op usuais naum saum apenas dos

?

por **Caeros** » Sáb Nov 27, 2010 17:33

Valeu andrefahl!
então fica assim:
2ª
u+0= $\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)$ + (0, 0, 0)= $\left({x}_{1} + 0,{y}_{1} + 0,{z}_{1} + 0 \right)$ = $\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)$ = u

3ª
-u=- $\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)$ = $\left(-{x}_{1},-{y}_{1},-{z}_{1} \right)$ então u+(-u)= $\left({x}_{1}-{x}_{1},{y}_{1}-{y}_{1},{z}_{1}-{z}_{1} \right)$ =(0, 0, 0)
4ª
Se $\alpha \in\Re:\alpha\left(u+v \right)=\alpha\left|\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}\right)+\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}\right)\right|=$
$\alpha\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)+\alpha\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2} \right)=$
$\alpha$ u+ $\alpha$ v
e assim vai... :y:

por **andrefahl** » Sáb Nov 27, 2010 18:16

É issae !!!

mas não esqueça, são 8

e a segunda é da associativa da soma

u+(v+w)=(u+v)+w

em

é muito facil verificar
isso.

Faz esse que é mais legal e também pode ajudar a ver melhor as propriedades.

Considere V = R

com as operações:

$\oplus : R \times R \rightarrow R$
$(u,v)\mapsto u\oplus v = u+v+2$

e

$\otimes : R \times R \rightarrow R$
$(\alpha,v)\mapsto \alpha\otimes v = \alpha v+2(\alpha -1)$

ai simplesmente ta escrito que o espaço vetorial é R e esse espaço tem
essas novas operações.
entao vc não teria mas 1 + 1 = 2 vc tem 1 + 1 = 1+ 1+ 2 = 4
=D
o 0 vetor tb é outro =)

tenta faze é bem legalzinho d provar =D