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Algebra Linear: Espaço Vetorial

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Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor Caeros » Dom Nov 14, 2010 17:39

Olá caros;
Para que eu verifique se os espaços abaixo vetoriais V são realmente espaços vetoriais acredito que se deve aplicar as oito propriedades que definem o espaço vetorial mas realmente tenho dúvidas de como se faz isso, alguém pode me ajudar? :y:

1.V={\Re}^{3},({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})+({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2});
\alpha(x,y,z)=(\alpha x,\alpha y,\alpha z).

2.V=\left({\begin{pmatrix}
   a & -b  \\ 
   b & a 
\end{pmatrix};a,b \in\Re\right),operações usuais de {M}_{2}(\Re).

3.V={(x,y)\in{\Re}^{2};3x-2y=0},operações usuais de {\Re}^{2}
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial(tentativa1)

Mensagempor Caeros » Seg Nov 15, 2010 17:40

Me ajudem! :coffee:
Tentativa para a resposta do item 1:
primeiro que se trata de um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas
({\Re}^{3});
Podemos representar os vetores dados por u=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}) e
v=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})
então u + v = ({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2})
e \alpha .v = (\alpha {x}_{2},\alpha {y}_{2},\alpha {z}_{2})
como indicadas nas operações.
Como são retas orientadas têm origem fixada para o espaço representada pelo vetor nulo (0, 0, 0).
Acho que seria o suficiente para verificar que sim é espaço vetorial ou temos que verificar todas as oito propriedades? Porque se uma delas não der certo então não é espaço vetorial, preciso saber!
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor andrefahl » Ter Nov 16, 2010 00:13

Meu caro, é o seguinte

para verificar se é realmente espaço vetorial vc tem que verificar os oito axiomas,
mas para dizer que não é espaço basta apenas dar um contra exemplo.

esqueça esse negocio de retas orientadas nesse momento,
o que realmente interessa nesses problemas é a soma definida para dois elementos
e a muliplicação por um escalar.

com isso vc verifica os oito axiomas.

a soma sejam u, v pertencentes a R^3 t.q u=(x_1,y_1,z_1) e v = (x_2,y_2,z_2)

entaum u + v = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_2 + x_1, y_2 + y_1, z_2 + z_1) = (x_2,y_2,z_2) + (x_1,y_1,z_1) = v + u para qq u ,v pertencente a R^3 ta ai o da soma =D

no caso de vetor nulo nesse problema do R^3 vc tem que

0. u = 0_v onde 0_v é o vetor nulo. é uma propriedade que 0 vezes o qq elemento eh o vetor nulo.
e nao pq saum retas e passam pela origem.. isso naum seria uma boa justificativa e em outros espaços vc naum
conseguiria mostra isso , por exemplo nos polinomios =)


dai 0.u = 0 (x_1,y_1,z_1) = (0x_1, 0y_1,0z_1) = (0,0,0) (lembrando que a multiplicaçao por escalar eh definida no começo, mas aqui é a op usual) ta ai o vetor nulo...
os outros ficam por sua conta =D

att


ps.: no item 3 as op usuais naum saum apenas dos R?
andrefahl
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor Caeros » Sáb Nov 27, 2010 17:33

Valeu andrefahl!
então fica assim:

u+0=\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right) + (0, 0, 0)= \left({x}_{1} + 0,{y}_{1} + 0,{z}_{1} + 0 \right) = \left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right) = u


-u=- \left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)=\left(-{x}_{1},-{y}_{1},-{z}_{1} \right) então u+(-u)=\left({x}_{1}-{x}_{1},{y}_{1}-{y}_{1},{z}_{1}-{z}_{1} \right)=(0, 0, 0)

Se\alpha \in\Re:\alpha\left(u+v \right)=\alpha\left|\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}\right)+\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}\right)\right|=
\alpha\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)+\alpha\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2} \right)=
\alphau+ \alphav
e assim vai... :y:
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor andrefahl » Sáb Nov 27, 2010 18:16

É issae !!!

mas não esqueça, são 8

e a segunda é da associativa da soma

u+(v+w)=(u+v)+w em R^3 é muito facil verificar
isso.

Faz esse que é mais legal e também pode ajudar a ver melhor as propriedades.

Considere V = R com as operações:

\oplus : R \times R \rightarrow R
(u,v)\mapsto u\oplus v = u+v+2

e

\otimes : R \times R \rightarrow R
(\alpha,v)\mapsto \alpha\otimes v = \alpha v+2(\alpha -1)

ai simplesmente ta escrito que o espaço vetorial é R e esse espaço tem
essas novas operações.
entao vc não teria mas 1 + 1 = 2 vc tem 1 + 1 = 1+ 1+ 2 = 4
=D
o 0 vetor tb é outro =)

tenta faze é bem legalzinho d provar =D
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Para derivar a função

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como é melhor fazer?
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e depois achar (y.x)' ?


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