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Algebra Linear: Espaço Vetorial

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Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor Caeros » Dom Nov 14, 2010 17:39

Olá caros;
Para que eu verifique se os espaços abaixo vetoriais V são realmente espaços vetoriais acredito que se deve aplicar as oito propriedades que definem o espaço vetorial mas realmente tenho dúvidas de como se faz isso, alguém pode me ajudar? :y:

1.V={\Re}^{3},({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})+({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})=({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2});
\alpha(x,y,z)=(\alpha x,\alpha y,\alpha z).

2.V=\left({\begin{pmatrix}
   a & -b  \\ 
   b & a 
\end{pmatrix};a,b \in\Re\right),operações usuais de {M}_{2}(\Re).

3.V={(x,y)\in{\Re}^{2};3x-2y=0},operações usuais de {\Re}^{2}
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial(tentativa1)

Mensagempor Caeros » Seg Nov 15, 2010 17:40

Me ajudem! :coffee:
Tentativa para a resposta do item 1:
primeiro que se trata de um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas
({\Re}^{3});
Podemos representar os vetores dados por u=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}) e
v=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})
então u + v = ({x}_{1}+{x}_{2},{y}_{1}+{y}_{2},{z}_{1}+{z}_{2})
e \alpha .v = (\alpha {x}_{2},\alpha {y}_{2},\alpha {z}_{2})
como indicadas nas operações.
Como são retas orientadas têm origem fixada para o espaço representada pelo vetor nulo (0, 0, 0).
Acho que seria o suficiente para verificar que sim é espaço vetorial ou temos que verificar todas as oito propriedades? Porque se uma delas não der certo então não é espaço vetorial, preciso saber!
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor andrefahl » Ter Nov 16, 2010 00:13

Meu caro, é o seguinte

para verificar se é realmente espaço vetorial vc tem que verificar os oito axiomas,
mas para dizer que não é espaço basta apenas dar um contra exemplo.

esqueça esse negocio de retas orientadas nesse momento,
o que realmente interessa nesses problemas é a soma definida para dois elementos
e a muliplicação por um escalar.

com isso vc verifica os oito axiomas.

a soma sejam u, v pertencentes a R^3 t.q u=(x_1,y_1,z_1) e v = (x_2,y_2,z_2)

entaum u + v = (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) = (x_2 + x_1, y_2 + y_1, z_2 + z_1) = (x_2,y_2,z_2) + (x_1,y_1,z_1) = v + u para qq u ,v pertencente a R^3 ta ai o da soma =D

no caso de vetor nulo nesse problema do R^3 vc tem que

0. u = 0_v onde 0_v é o vetor nulo. é uma propriedade que 0 vezes o qq elemento eh o vetor nulo.
e nao pq saum retas e passam pela origem.. isso naum seria uma boa justificativa e em outros espaços vc naum
conseguiria mostra isso , por exemplo nos polinomios =)


dai 0.u = 0 (x_1,y_1,z_1) = (0x_1, 0y_1,0z_1) = (0,0,0) (lembrando que a multiplicaçao por escalar eh definida no começo, mas aqui é a op usual) ta ai o vetor nulo...
os outros ficam por sua conta =D

att


ps.: no item 3 as op usuais naum saum apenas dos R?
andrefahl
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor Caeros » Sáb Nov 27, 2010 17:33

Valeu andrefahl!
então fica assim:

u+0=\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right) + (0, 0, 0)= \left({x}_{1} + 0,{y}_{1} + 0,{z}_{1} + 0 \right) = \left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right) = u


-u=- \left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)=\left(-{x}_{1},-{y}_{1},-{z}_{1} \right) então u+(-u)=\left({x}_{1}-{x}_{1},{y}_{1}-{y}_{1},{z}_{1}-{z}_{1} \right)=(0, 0, 0)

Se\alpha \in\Re:\alpha\left(u+v \right)=\alpha\left|\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1}\right)+\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2}\right)\right|=
\alpha\left({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1} \right)+\alpha\left({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2} \right)=
\alphau+ \alphav
e assim vai... :y:
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Re: Algebra Linear: Espaço Vetorial

Mensagempor andrefahl » Sáb Nov 27, 2010 18:16

É issae !!!

mas não esqueça, são 8

e a segunda é da associativa da soma

u+(v+w)=(u+v)+w em R^3 é muito facil verificar
isso.

Faz esse que é mais legal e também pode ajudar a ver melhor as propriedades.

Considere V = R com as operações:

\oplus : R \times R \rightarrow R
(u,v)\mapsto u\oplus v = u+v+2

e

\otimes : R \times R \rightarrow R
(\alpha,v)\mapsto \alpha\otimes v = \alpha v+2(\alpha -1)

ai simplesmente ta escrito que o espaço vetorial é R e esse espaço tem
essas novas operações.
entao vc não teria mas 1 + 1 = 2 vc tem 1 + 1 = 1+ 1+ 2 = 4
=D
o 0 vetor tb é outro =)

tenta faze é bem legalzinho d provar =D
andrefahl
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D