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Dúvida na Fatoração

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Dúvida na Fatoração

Mensagempor runksoneck » Sáb Fev 19, 2011 18:30

Como eu posso fatorar: x³-3x²+3x-1 e x^5-1
To com dificuldade com potências maiores que 2. Eu até consegui umas com 3, mas essa daí não está dando certo.
Obg.
runksoneck
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Re: Dúvida na Fatoração

Mensagempor LuizAquino » Sáb Fev 19, 2011 21:44

runksoneck escreveu:Como eu posso fatorar: x^3-3x^2+3x-1 e x^5-1


Para fatorar um polinômio de grau n, de modo geral você precisa descobrir as n raízes da equação a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0. A forma fatorada desse polinômio será a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})\cdots(x-x_1)(x-x_0), onde x_i é cada uma das n raízes.

Exemplo 1
Para fatorar x^3-3x^2+3x-1, você precisa descobrir as 3 raízes da equação x^3-3x^2+3x-1=0. Nesse caso, é fácil notar que 1 é uma raiz. Basta substituir x por 1 nessa equação e você verá que ela é válida. Como 1 é uma raíz, você pode reduzir o grau desse polinômio para achar as outras duas raízes. Para isso, você pode dividir o polinômio por (x-1). Nesse caso você irá encontrar x^2-2x+1. Portanto, agora você tem que encontrar as raízes de x^2-2x+1=0. Facilmente você irá encontrar que as duas raízes dessa equação são x'=x''=1. Portanto, teremos que:

x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)(x-1)(x-1) = (x-1)^3

Exemplo 2
Para fatorar x^5-1, você apenas precisa conhecer o produto notável a^n-b^n = (a - b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots +  a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}):
x^5-1 = x^5-1^5 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Observação
Você já deve ter percebido que vai precisar estudar como determinar as raízes de polinômios de qualquer grau. Além disso, você vai precisar estudar como se efetua a divisão entre polinômios.
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Re: Dúvida na Fatoração

Mensagempor runksoneck » Ter Fev 22, 2011 09:57

Valeeeu cara, já to conseguindo resolver os exercícios da apostila. :-D
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?