Dúvida na Fatoração

por **runksoneck** » Sáb Fev 19, 2011 18:30

Como eu posso fatorar: x³-3x²+3x-1 e x^5-1
To com dificuldade com potências maiores que 2. Eu até consegui umas com 3, mas essa daí não está dando certo.
Obg.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 19, 2011 21:44

runksoneck escreveu:Como eu posso fatorar: e

Para fatorar um polinômio de grau n, de modo geral você precisa descobrir as n raízes da equação $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$ . A forma fatorada desse polinômio será $a_n(x-x_n)(x-x_{n-1})\cdots(x-x_1)(x-x_0)$ , onde x_i

é cada uma das n raízes.

Exemplo 1
Para fatorar x^3-3x^2+3x-1

, você precisa descobrir as 3 raízes da equação x^3-3x^2+3x-1=0

. Nesse caso, é fácil notar que 1 é uma raiz. Basta substituir x por 1 nessa equação e você verá que ela é válida. Como 1 é uma raíz, você pode reduzir o grau desse polinômio para achar as outras duas raízes. Para isso, você pode dividir o polinômio por (x-1). Nesse caso você irá encontrar x^2-2x+1

. Portanto, agora você tem que encontrar as raízes de x^2-2x+1=0

. Facilmente você irá encontrar que as duas raízes dessa equação são x'=x''=1. Portanto, teremos que:

x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)(x-1)(x-1) = (x-1)^3

Exemplo 2
Para fatorar x^5-1

, você apenas precisa conhecer o produto notável $a^n-b^n = (a - b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$ :
x^5-1 = x^5-1^5 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Observação
Você já deve ter percebido que vai precisar estudar como determinar as raízes de polinômios de qualquer grau. Além disso, você vai precisar estudar como se efetua a divisão entre polinômios.