Ola, estou tentando fazer estas questoes (abaixo) do capitulo de AL sobre vetores ortonormais. Bem acontece que a primeira o gabarito nao bate e a terceira quando vou verificar se os vetores sao realmente ortogonais entre si acontece de eles nao serem. Bem vou botar as questoes aqui embaixo e o que eu tentei fazer e se alguem tiver uma dica, correçao, ... :
Obs.: Os exercicios abaixo sao retirados do livro Algebra com Aplicaçoes - Steven J. Leon.
1) Para a matriz A a seguir, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar ortonormal para I(A).
Bem primeiro, entao encontrei a base para I(A). ( I(A) é, segundo meu professor, imagem de A )
I(A) = Vetores linha não nulos da matriz A transposta apos o escalonamento.
Escalonando A transposta fica-se com a matriz:
Ou seja I(A) = [(-1 , 1) , (0 , 8)] Obs.: vetores sao transpostos.
Ok tendo as base de I(A), basta aplicar Gram-Schmidt.
Onde v1 e v2 sao respectivamente (-1,1) e (0,8)
Conserva-se um vetor (normalizando-o) e acha-se o outro, ou seja:
Calculando ...
... normalizando u2 ficamos com :
Bem entao os vetores ortonormais para base de I(A) sao:
Esta foi minha resposta e a certa no gabarito é :
2) Fatore a matriz A ( é a mesma do exercicio de cima) em que o produto QR, onde Q é uma matriz ortogonal e R é trianular superior.
Bem esta questao, na verdade nao tenho certeza do que é pra fazer, portanto se alguem tiver algo sobre o assunto ou puder indicar um site ou video, uma vez que nao achei em nenhum livro ate agora.
3) Dada a base {(1,2,-2) , (4,3,2), (1,2,1)} para R^3 use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal. Obs.: os vetores sao transpostos.
Fiz como a primeira questao:
(primeiro vetor normalizado)
Onde, v1, v2 e v3 sao respectivamente (1,2,-2) , (4,3,2) , (1,2,1).
... normalizando
Agora u3 pra resumir ja ue sao bastantes calculos vou botar somente o que deu, mas foi feito como esta ali.
... ja normalizado.
Bem deu isso e o gabarito diz
Obrigado a quem ler.