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[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

MAT0134
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[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Ter Abr 03, 2012 23:31

Ok estou com muita dificuldade de fazer a alternativa "c" desta questao alguem pode me ajudar, talvez uma SUPER dica quem sabe.

8. Considere os vetores x1 = (1, 1, 1)T e x2 = (3, -1, 4)T.

(a) x1 e x2 geram R3? Explique.
(b) Seja x3 um terceiro vetor em R3 e defina X = {x1, x2, x3}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que x1, x2, x3 formem uma base para R3?
(c) Encontre um terceiro vetor x3 que estenda o conjunto {x1, x2} a uma base para R3.

Obs.: o T depois dos vetores é pra indicar que é o vetor transposto.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor MarceloFantini » Qua Abr 04, 2012 00:24

Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor ewald » Qua Abr 04, 2012 14:26

MarceloFantini escreveu:Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?

Ok, como era pouca coisa que precisava botar pelo latex eu achei que nao faria muita diferença, mas ja que insiste...

8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.

Agora quanto minha resposta da alternativa "b":
R: X tem de ser linearmente independente e também tem de ser gerador do R³. (Sendo que no gabarito diz Linearmente independente e gerar R³)

Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.

Bem é isso.
ewald
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Re: [Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

Mensagempor LuizAquino » Qua Abr 04, 2012 17:50

ewald escreveu:8. Considere os vetores {x}_{1} = {(1, 1, 1)}^{T} e {x}_{2} = {(3, -1, 4)}^{T}

(a) {x}_{1} e {x}_{2} geram R³? Explique.
(b) Seja {x}_{3} um terceiro vetor em R³ e defina X = {{x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3}}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que {x}_{1}, {x}_{2}, {x}_{3} formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor {x}_{3} que estenda o conjunto {{x}_{1},{x}_{2}} a uma base para R³.


ewald escreveu:Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o {x}_{3} é o vetor v=({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.


Para que \{\vec{x}_{1},\, \vec{x}_{2},\, \vec{x}_3 \} seja uma base para \mathbb{R}^3, você já sabe que esse conjunto deve ser L. I. e gerar \mathbb{R}^3 .

Basta então encontrar (ou escolher) um vetor \vec{x}_3 tal que aquele conjunto seja L. I. e gere \mathbb{R}^3 .

Note que temos infinitas escolhas. Uma das mais simples é escolher \vec{x}_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}^T .

Agora verifique que com essa escolha temos de fato uma base para \mathbb{R}^3 .

Observação

Quando falamos de "transposta", estamos tipicamente nos referindo a matriz. Para representar a transposta de uma matriz de uma linha e três colunas, usamos uma das seguintes notações:

(i) \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}^T

(ii) \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^T

Note que na sua escrita você colocou uma vírgula (",") entre os elementos da matriz. Mas isso não é o padrão. Você deve escrever sem essas vírgulas.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}