espaçovetorial

[amr]

Oii, eu queria saber se como eu estou resolvendo o exercíco está correto. (:

Ex.: Seja V o conjunto dos pares ordenados de nº R. V não é espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operação:
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e k(x, y)=(x, ky);
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e k(x,y) = (kx, ky).
Verfique em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam.

a) Como na adição ele aparentemente irá dar certo, decidi resolver pela Multiplicação. E ficou assim:

M1: (kl)(x,y) = ((kl) x, (kl)y) = (k (lx), k(ly)) = k ( x, ly) = ( x, kly).

M2: k((x1,y1) + (x2, y2)) = k (x1 + x2, y1+ y2) = (k(x1+x2) + k(y1+y2)) = ((x1+x2), (ky1+ky2)) = (x1, ky1) + ( x2, ky2).

M3: (k+l)(x,y) = ( (k+l)x, (k+l)y) = (kx+ lx, ky + ly) =( x, ky) + (x, ly).

M4: 1(x, y) = ( 1x, 1y) = (x, y)

Os axiomas M1, M2 e M3 não se verificam na letra a.

b) Aqui é ao contrário, a Adição é por onde decidi começar a verificação:

A1: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 +x2) + (y1 + y2) = (x1+ x2, y1+ y2) = ( x1, y1).

A2: ((x1, y1) + (x2, y2)) +( x3, y3) = ( (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)) = ( (x1 + x2) + x3, ( y1 + y2) + y3) = (x1 + x3, y1 + y3) =
(x3 + x1, y3 +y1) = (x3, y3) + ( x1, y1).

A3: (x,y) + (0,0) = ( x +0, y +0) = (x, y)

A4: (x1, y1) + ( -x1, -y1) = ( x1 -x1, y1- y1) = ( 0, 0).

Os aximoas A1 e A2 não se verficam.

é isso mesmo??? obrigada.

[LuizAquino]

Seja V o conjunto dos pares ordenados de nº R. V não é espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operação:
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e k(x, y)=(x, ky);
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e k(x,y) = (kx, ky).
Verifique em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam.

(a) Não será válido que (k+l)(x, y) = k(x, y) + l(x, y).
De fato, temos que:
(i) (k+l)(x, y) = (x, (k+l)y)
(ii) k(x, y) + l(x, y) = (x, ky) + (x, ly) = (2x, (k+l)y).
Portanto, de (i) e (ii) temos que (k+l)(x, y) e k(x, y) + l(x, y) de modo geral são diferentes.

(b) Não existe elemento neutro. Isto é, não há (a, b) tal que para qualquer (x, y) ocorra (x, y) + (a, b) = (x, y).
De fato, temos que (x, y)+(a, b)=(x+a, 0). Ainda que tivéssemos a=0, obteríamos (x, y)+(a, b)=(x, 0), o que de modo geral é diferente de (x, y).

[amr]

oii, eu não entendi mto bem a letra b.pq não há elemento neutro?? fiquei bem perdida nessa explicação. (:

[LuizAquino]

Para que (a, b) seja um elemento neutro da adição, temos que o resultado de (x, y)+(a, b) deve ser igual a (x, y), para qualquer (x, y).

Mas, como foi definida a soma para esse exercício? Ela foi definida como: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0).

Note que para qualquer (a, b) que você escolher a soma (x, y)+(a, b) será igual a (x, 0). Ou seja, tivemos que (x, y)+(a, b) foi diferente de (x, y) (a menos nos casos onde y=0). Portanto, (a, b) não pode ser um elemento neutro.

[amr]

aaah entendi. mas no caso da definição ser: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) daí haveria o elemento neutro??

[LuizAquino]

aaah entendi. mas no caso da definição ser: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) daí haveria o elemento neutro??

Pense um pouquinho e você mesmo será capaz de responder!

Basta pensar na seguinte pergunta: existe (a, b) tal que para qualquer (x, y) temos que a soma (x, y)+(a, b) é igual (x, y)?

Se a reposta para essa pergunta for sim, então temos um elemento neutro para a adição.

[amr]

ta, então eu tenho o elemento neutro. uhul

mas se eu resolver este mesmo problema com essa nova definição, não irá se verificar as propriedades associativa e comutativa, fazendo com que não seja um espaço vetorial. e fim??

mto obrigada!

[LuizAquino]

mas se eu resolver este mesmo problema com essa nova definição, não irá se verificar as propriedades associativa e comutativa, fazendo com que não seja um espaço vetorial. e fim??

Considerando a soma definida como (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1), então de fato ela não será comutativa, pois tomando qualquer (x1, y1) diferente de (x2, y2) temos que:
(i) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1)
(ii) (x2, y2) + (x1, y1) = (x2, y2)
De (i) e (ii) implica que (x1, y1) + (x2, y2) e (x2, y2) + (x1, y1) são diferentes.

Por outro lado, ela será associativa:
(i) [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + (x3, y3) = (x1, y1)
(ii) (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1)
De (i) e (ii) segue que [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]

Como não foi válido a comutatividade na soma, então o conjunto V munido dessa operação não é espaço vetorial (não importando qual seja a operação de multiplicação por escalar que seja escolhida).

[amr]

agora sim, mto obrigada!