subespaço vetorial

por **Neta Silva** » Sex Mar 14, 2014 20:51

Mostrar que $W = \{ (ax^2+bx+c) \in P_{2}; c=2a+b \}$ é um subespaço vetorial de P_2

, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.

por **Pessoa Estranha** » Sex Mar 14, 2014 21:49

Olá!

Bem, para mostrar que um conjunto é um subespaço vetorial, basta verificar que as três propriedades que um subespaço estão satisfeitas no conjunto em questão. Gostaria de ajudar, mas o exercício parece um pouco difícil; então, podemos ir discutindo o problema para chegarmos à uma resposta.

Vamos verificar as seguintes propriedades:

a) W tem elemento neutro (mostrar);

Seja $y \in W$ . Daí,

é da forma $y = a{x}^{2}+bx+c$ , onde c = 2a + b

. Queremos saber se $0 \in W$ . Para tanto, temos que verificar se y + 0 = y

. Assim, consideremos $0 = 0{x}^{2}+0x+0$ . Então, podemos partir então para a próxima etapa:

$y + 0 = (a{x}^{2} + bx + c)+(0{x}^{2}+0x+0) = ((a{x}^{2})+(0{x}^{2}))+((bx)+(0x)) + ((c)+(0)) = (a({x}^{2})+0({x}^{2})) + (b(x)+0(x)) + ((c)+(0)) = ((a+0)({x}^{2})) + ((b+0)(x)) + (c+0) = a({x}^{2})+b(x)+c = a{x}^{2}+bx+c = y$

Portanto, W apresenta elemento neutro.

Agora, temos que verificar se as duas próximas propriedades de um subespaço vetorial são satisfeitas por W.

b) tomados dois elementos de W, a soma deles pertence à W (isto é, temos que mostrar que se $x1, x2 \in W$ , então $(x1 + x2) \in W$ );

c) considerados $\alpha \in \Re, y \in W$ , $(\alpha y) \in W$ ;

O que sugere para continuar com a resolução ?

Espero ter ajudado um pouco....

por **Russman** » Sex Mar 14, 2014 22:40

Perfeito. Você mostrou que

é um ESPAÇO vetorial, de fato. Agora, para mostrar que o mesmo é SUBespaço de P_2

precisamos mostrar que $W \subseteq P_2$ .

Como $P_2 = \left \{ (ax^2 + bx + c ) | a,b,c \in\mathbb{R} \right \}$ , podemos tomar c=2a+b

nesse espaço ( como a e b são reais,uma combinação linear deles também o é) e então este será confundido com

. Assim, podemos "achar"

"dentro" de P_2

. Portanto, é subespaço.

por **Pessoa Estranha** » Sáb Mar 15, 2014 12:17

Estranho, pois aprendi que se verificarmos que W satisfaz aquelas três propriedades listadas, então é subespaço. Daí, uma vez que é subespaço, temos um resultado que garante que W é espaço vetorial.

Russman escreveu:Perfeito. Você mostrou que é um ESPAÇO vetorial, de fato. Agora, para mostrar que o mesmo é SUBespaço de precisamos mostrar que $W \subseteq P_2$ .

Como $P_2 = \left \{ (ax^2 + bx + c ) | a,b,c \in\mathbb{R} \right \}$ , podemos tomar nesse espaço ( como a e b são reais,uma combinação linear deles também o é) e então este será confundido com . Assim, podemos "achar" "dentro" de . Portanto, é subespaço.

Por outro lado, para mostramos que W é espaço vetorial, então temos que verificar se W satisfaz oito propriedades do espaço vetorial, e não apenas três.

Talvez eu esteja confundido, mas acho que é assim....

por **Pessoa Estranha** » Sáb Mar 15, 2014 12:20

Ei! Vocês poderiam dar uma olhadinha no meu tópico de estruturas algébricas, sobre conjuntos limitados inferiormente? Por favor!

por **Russman** » Sáb Mar 15, 2014 12:31

Se for subespaço vetorial é obvio que deve ser também espaço vetorial.

O $\mathbb{R}^3$ , por exemplo, satisfaz todos os requerimentos de espaço vetorial e não é subespaço de $\mathbb{R}^2$ .

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