Gram-Schmidt

por **ewald** » Sex Mai 11, 2012 15:58

Ola, estou tentando fazer estas questoes (abaixo) do capitulo de AL sobre vetores ortonormais. Bem acontece que a primeira o gabarito nao bate e a terceira quando vou verificar se os vetores sao realmente ortogonais entre si acontece de eles nao serem. Bem vou botar as questoes aqui embaixo e o que eu tentei fazer e se alguem tiver uma dica, correçao, ... :
Obs.: Os exercicios abaixo sao retirados do livro Algebra com Aplicaçoes - Steven J. Leon.

1) Para a matriz A a seguir, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar ortonormal para I(A).
$A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
Bem primeiro, entao encontrei a base para I(A). ( I(A) é, segundo meu professor, imagem de A )
I(A) = Vetores linha não nulos da matriz A transposta apos o escalonamento.
Escalonando A transposta fica-se com a matriz:
$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$
Ou seja I(A) = [(-1 , 1) , (0 , 8)] Obs.: vetores sao transpostos.
Ok tendo as base de I(A), basta aplicar Gram-Schmidt.
Onde v1 e v2 sao respectivamente (-1,1) e (0,8)
Conserva-se um vetor (normalizando-o) e acha-se o outro, ou seja:
${u}_{1} = (-1 , 1) \frac{1}{\sqrt[2]{2}}$

${u}_{2} = {v}_{2} - {proj}_{{u}_{1}}({v}_{2})$
Calculando ...
$(0,8) - [(0,8).(-\frac{1}{\sqrt[2]{2}},\frac{1}{\sqrt[2]{2}})].(-\frac{1}{\sqrt[2]{2}},\frac{1}{\sqrt[2]{2}})$
(0,8) - (-4,4)

${u}_{2} = (4,4)$ ... normalizando u2 ficamos com :

${u}_{2} = (4,4). \frac{1}{4\sqrt[2]{2}}$
${u}_{2} = (\frac{1}{\sqrt[2]{2}},\frac{1}{\sqrt[2]{2}})$

Bem entao os vetores ortonormais para base de I(A) sao:
$\left[ {(-\frac{1}{\sqrt[2]{2}},\frac{1}{\sqrt[2]{2}})}^{T} , {(\frac{1}{\sqrt[2]{2}},\frac{1}{\sqrt[2]{2}})}^{T} \right]$

Esta foi minha resposta e a certa no gabarito é : ${(2,1)}^{T}$

2) Fatore a matriz A ( é a mesma do exercicio de cima) em que o produto QR, onde Q é uma matriz ortogonal e R é trianular superior.

Bem esta questao, na verdade nao tenho certeza do que é pra fazer, portanto se alguem tiver algo sobre o assunto ou puder indicar um site ou video, uma vez que nao achei em nenhum livro ate agora.

3) Dada a base {(1,2,-2) , (4,3,2), (1,2,1)} para R^3 use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal. Obs.: os vetores sao transpostos.
Fiz como a primeira questao:

${u}_{1} = (1,2,-2) . \frac{1}{\sqrt[2]{5}}$ (primeiro vetor normalizado)
${u}_{2} = {v}_{2} - ({proj}_{{u}_{1}}{v}_{2}) . {u}_{1}$
${u}_{3} = {v}_{3} - [ ({proj}_{{u}_{1}}{v}_{3}) . {u}_{1} ] - [ ({proj}_{{u}_{2}}{v}_{3}) . {u}_{2} ]$
Onde, v1, v2 e v3 sao respectivamente (1,2,-2) , (4,3,2) , (1,2,1).

${u}_{2} = (4,3,2) - 6.\left(\frac{1}{\sqrt[2]{5}},\frac{2}{\sqrt[2]{5}}, \frac{-2}{\sqrt[2]{5}}\right)$
${u}_{2} = \left(\frac{14}{5},\frac{3}{5},\frac{22}{5} \right)$ ... normalizando
${u}_{2} = \left(\frac{14}{\sqrt[2]{689}},\frac{3}{\sqrt[2]{689}},\frac{22}{\sqrt[2]{689}} \right)$

Agora u3 pra resumir ja ue sao bastantes calculos vou botar somente o que deu, mas foi feito como esta ali.
${u}_{3} = \left(\frac{-1562}{3445},\frac{2126}{3445},\frac{2959}{3445} \right)$ ... ja normalizado.

Bem deu isso e o gabarito diz $\left[{{\left(1-2\alpha, \alpha \right)}^{T}| \alpha real} \right]$

Obrigado a quem ler.

por **ewald** » Sex Mai 11, 2012 22:21

Ok, esquece a questao 3,, embora nao esteja batendo com o gabarito, o qual parece estar errado, consegui deixa-los ortonormais. Meu erro foi na verdade ridiculo. Errei na normalizaçao do 1º vetor e o erro obviamente se propagou.
No entanto as outras continuo sem saber, alias a 1ª eu realmente acho que o gabarito esta trocado.
Obrigado

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