[Bases/Dimensao] Achar o vetor que falta da Base

[ewald]

Ok estou com muita dificuldade de fazer a alternativa "c" desta questao alguem pode me ajudar, talvez uma SUPER dica quem sabe.

8. Considere os vetores x1 = (1, 1, 1)T e x2 = (3, -1, 4)T.

(a) x1 e x2 geram R3? Explique.
(b) Seja x3 um terceiro vetor em R3 e defina X = {x1, x2, x3}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que x1, x2, x3 formem uma base para R3?
(c) Encontre um terceiro vetor x3 que estenda o conjunto {x1, x2} a uma base para R3.

Obs.: o T depois dos vetores é pra indicar que é o vetor transposto.

[MarceloFantini]

Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?

[ewald]

Ewald, por favor use LaTeX, veja a regra número 2 do fórum. Sobre a questão, qual foi a sua resposta para o item b?

Ok, como era pouca coisa que precisava botar pelo latex eu achei que nao faria muita diferença, mas ja que insiste...

8. Considere os vetores

(a) e geram R³? Explique.
(b) Seja um terceiro vetor em R³ e defina X = {}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor que estenda o conjunto {} a uma base para R³.

Agora quanto minha resposta da alternativa "b":
R: X tem de ser linearmente independente e também tem de ser gerador do R³. (Sendo que no gabarito diz Linearmente independente e gerar R³)

Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o é o vetor v=(), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.

Bem é isso.

[LuizAquino]

8. Considere os vetores

(a) e geram R³? Explique.
(b) Seja um terceiro vetor em R³ e defina X = {}. Que condição (ou condições) X tem que satisfazer para que formem uma base para R³?
(c) Encontre um terceiro vetor que estenda o conjunto {} a uma base para R³.

Ta complementando um pouco, eu tentei fazer a "c" mostrando que os 3 vetores sao linearmente independentes (primeiramente) dizendo que o é o vetor v=(), montando entao uma matriz, escalonando ... enfim todo processo para provar que um conjunto de vetores sao L.I. e, no entanto, so consegui muitas variaveis e nenhuma resposta.

Obs.: Tentei tambem mostrar que gera o R³, mas , de novo, so consegui muitas variaveis.

Para que seja uma base para , você já sabe que esse conjunto deve ser L. I. e gerar .

Basta então encontrar (ou escolher) um vetor tal que aquele conjunto seja L. I. e gere .

Note que temos infinitas escolhas. Uma das mais simples é escolher .

Agora verifique que com essa escolha temos de fato uma base para .

Observação

Quando falamos de "transposta", estamos tipicamente nos referindo a matriz. Para representar a transposta de uma matriz de uma linha e três colunas, usamos uma das seguintes notações:

(i)

(ii)

Note que na sua escrita você colocou uma vírgula (",") entre os elementos da matriz. Mas isso não é o padrão. Você deve escrever sem essas vírgulas.