subespaço vetorial

[amr]

Oi, minha dúvida agora é sobre o sub. vetorial. eu tenho mais facilidade de provar qndo não irá se verficar do que ao contrário.
o exercício pede para provar quais são subespaços do espaço P (R) de todos os polinômios reais:

a) W = { f(t) P (R) | f(t) tem grau maior que 2}

nesse, eu admti que f(t)= t³-2t e g(t) = -t³+ t, ambos W.
onde f(t) + g(t) = t³-2t + (-t³+t) = -t.
Como o grau obtido é menor que 2, este não é um subespaço.

b) W = {f(t) | f(t) > 0, t R}

seja f(t) = t + t², se f(0)= 0+0²=0. O polinômio nulo existe mas não esta na definição.. logo, não é subespaço.

c) W= { f(t) |f(0)=2f(1)}
Neste, eu faço como? já tentei de várias formas mas não cheguei a nenhum resultado final.

d) W = {f(t)| f(t) + f ' (t) =0}
Aqui eu faço um polinômio com grau 1 pra que a derivada seja uma constante??? nem sei por onde começar!!

O que eu fiz está certo??
Obrigada. (:

[LuizAquino]

c) W = {f(t) P(R) | f(0) = 2f(1)}
Neste, eu faço como? já tentei de várias formas mas não cheguei a nenhum resultado final.

(i) O elemento neutro está em W, pois o polinômio n(t) = 0 é tal que n(0) = 2n(1).

(ii) Sejam f e g em W. Temos que:
(f+g)(0) = f(0)+g(0) = 2f(1)+2g(1) = 2(f(1)+g(1)) = 2(f+g)(1).
Portanto, f+g está em W.

(iii) Seja f em W e k em R. Temos que:
(kf)(0) = k(f(0)) = k(2f(1)) = 2(kf(1)) = 2(kf)(1).
Portanto, kf está em W.

De (i), (ii) e (iii) segue que W é subespaço de P(R).

Agora, tente fazer o exercício d).

Observação
No espaço das funções, usualmente definimos a soma como:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Já o produto por um escalar usualmente definimos como:
(kf)(x) = kf(x)

[amr]

eu não entendi mto bem a prova do elemento neutro do c).
eu tenho que achar o polinômio nulo, mas ele já esta definido com sendo igual a 2f(1).. então, vai ser este mesmo polinômio devido a igualdade??

na letra d) eu tentei de novo e travei. tentei fazer exemplos com números para ver se consigo entender melhor e mesmo assim está difícil. =/

[LuizAquino]

eu não entendi mto bem a prova do elemento neutro do c).
eu tenho que achar o polinômio nulo, mas ele já esta definido com sendo igual a 2f(1).. então, vai ser este mesmo polinômio devido a igualdade??

Considere o polinômio n(t) = 0. Quanto vale n(0)? Ora, vale 0. E quanto vale n(1)? Ora, também vale zero. Ou seja, temos que n(0)=0 e n(1)=0.

Para que um polinômio f pertença a W é necessário que f(0) seja igual a 2f(1). Pergunta: n(0) é igual a 2n(1)?

na letra d) eu tentei de novo e travei. tentei fazer exemplos com números para ver se consigo entender melhor e mesmo assim está difícil. =/

W = {f(t) P(R)| f(t) + f ' (t) =0}

(i) n(t)=0 está em W. (Esta prova é trivial e deixo como exercício)

(ii) Sejam f e g em W. Temos que:
(f+g)(x) + [(f+g)(x)]' = f(x) + g(x) + [f(x)+g(x)]'
= f(x) + g(x) + f'(x) + g'(x)
= f(x) + f'(x) + g(x) + g'(x)
= 0 + 0
= 0
Desse modo, (f+g)(x) + [(f+g)(x)]' = 0. Portanto, f+g está em W.

(iii) Seja f em W e k em R. Usando uma estratégia semelhante a usada no quesito (ii) obtemos que (kf)(x) + [(kf)(x)]' = 0 (isso também fica como exercício). Portanto, kf está em W.

De (i), (ii) e (iii) segue que W é subespaço de P(R).