ponto da reta r que é eqüidistante do ponto A e do ponto B

por **gutorocher** » Qua Jul 21, 2010 14:01

Dada a reta

$\left\{\begin{matrix} & x= 1 +\lambda & \\ & y = \lambda , \lambda \epsilon \mathbb{R} & \\ & z = \lambda & \end{matrix}\right.$

e os pontos A (1,1,1) e B(0,0,1)

O ponto da reta r que é eqüidistante do ponto A e do ponto B é:

A) (0,1,0)

B) (1,1,0)

C) (1,0,0)

D) (0,1,1)

E) (0,1,1)

tentei pelo calculo da distancia $D =\sqrt{(xa -xb)^2 + (ya- yb)^2 + (za - zb)^2}$

sendo que preciso os três pontos no cálculo apenas sabia a distancia , como faço para resolver está questão ?

por **gutorocher** » Qua Jul 21, 2010 18:56

ninguém consegue entender como fazer ?

preciso muito de ajuda, o que devo aplicar para resolver que formula utilizo...

por **Douglasm** » Qua Jul 21, 2010 19:31

Na verdade você acertou na escolha do método. Vamos calcular as distâncias do ponto P (que pertence a reta supracitada) aos pontos A e B, respectivamente:

$D_{P-A} = \sqrt{(x_p - 1)^2 + (y_p - 1)^2 + (z_p - 1)^2} = \sqrt{x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1}$

$D_{P-B} = \sqrt{(x_p - 0)^2 + (y_p - 0)^2 + (z_p - 1)^2} = \sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1}$

Como o enunciado nos dia que A e B são equidistantes de P, temos:

$D_{P-A} = D_{P-B} \;\therefore$

$\sqrt{x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1} = \sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1} \;\therefore$

Depois de manipulações simples chegamos a:

x_p + y_p = 1

Como o ponto P pertence a reta r, devemos resolver o sistema:

x_p + y_p = 1

Obs: As duas últimas equações são obtidas eliminando o parâmetro das equações de r.

Fazendo substituições, chegamos ao resultado:

$x_p = 1 \;;\; y_p = 0 \;;\; z_p = 0$

O ponto P é (1, 0, 0).

por **gutorocher** » Qua Jul 21, 2010 21:17

Douglasm

conseguir entender até

dp-a = dp-b

como conseguiste Depois de manipulações simples chegamos a:

xp + yp = 1

eu conseguir chegar a -2yp + 2 - 2zp

poderia dizer o que errei,

e poderia explicar com mais detalhe o procedimento, pois não conseguir entender o processo...

o que você fez com a lambda

por **Douglasm** » Qua Jul 21, 2010 22:52

Partindo de:

$\sqrt{x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1} = \sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1} \;\therefore$

Temos:

$(\sqrt{x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1})^2 = (\sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1})^2 \;\therefore$

$x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1 = x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1 \;\therefore$

$- 2x_p + 1 -2y_p + 1 = 0 \;\therefore$

$2 = 2(x_p + y_p) \;\therefore$

$x_p + y_p = 1 \;\therefore$

Agora quanto ao lambda, veja como foi:

$x = 1 + \lambda \;\therefore\; \lambda = x -1$

$\lambda = y \;\therefore\; y = x - 1$

Analogamente:

y = z

Tendo essas equações, é só resolver o sistema.

por **gutorocher** » Qua Jul 21, 2010 23:08

poderia explicar como chegaste a 2 = 2(xp +yp)

por **Douglasm** » Qua Jul 21, 2010 23:53

Agora partindo de:

$x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1 = x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1 \;\therefore$

Temos:

$x_p^2 - 2x_p + 1 + y_p^2 -2y_p + 1 + z_p^2 - 2z_p + 1 = x_p^2 + y_p^2 + z_p^2 - 2z_p + 1 \;\therefore$

$x_p^2 (-x_p^2) - 2x_p + 1 + y_p^2 (-y_p^2) -2y_p + 1 + z_p^2 (-z_p^2) - 2z_p(+2z_p) + 1(-1) = x_p^2 (-x_p^2) + y_p^2 (-y_p^2) + z_p^2 (-z_p^2) - 2z_p (+2z_p) + 1(-1) \;\therefore$

$- 2x_p + 1 -2y_p + 1 = 0 \;\therefore$

$2 = 2x_p + 2y_p \;\therefore$

$2(x_p + y_p) = 2 \;\therefore$

x_p + y_p = 1

por **gutorocher** » Qui Jul 22, 2010 00:28

bom a partir dos pontos

xp - yp = 1

yp = xp -1

zp = yp

como descobrisse os valores dos pontos a parter destes acima....

ou como descobrisse

desde ja agradeço o esclarecimento que esta fornecendo

por **Douglasm** » Qui Jul 22, 2010 13:49

Substituindo a segunda equação na primeira, encontramos:

$x_p + x_p - 1 = 1 \;\therefore$

$2x_p = 2 \;\therefore$

x_p = 1

Retornando a primeira equação:

$1 + y_p = 1 \;\therefore$

y_p = 0

A terceira equação nos garante que:

y_p = z_p = 0

O ponto P é (1, 0, 0). A resposta é letra C.

por **Douglasm** » Qui Jul 22, 2010 13:52

Esse tópico foi duplicado...

por **gutorocher** » Qui Jul 22, 2010 14:25

como assim duplicado este tópico, e só coloquei uma única vez e pesquisei antes de fazer esta pergunta

muito obrigado pelo esclarecimento

por **Douglasm** » Qui Jul 22, 2010 22:25

O que quis dizer foi que a minha última mensagem acabou sendo duplicada...(aliás, ando tendo problemas para acessar o fórum, as páginas tem demorado MUITO para carregar).