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Matriz trigonométrica

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Matriz trigonométrica

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 21:57

Encontre o valor de x:

\begin{bmatrix} sen^8 \, x & cos^8 \, x \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} = \frac{17}{32}

Muito interessante essa questão!
Não tenho o gabarito, mas achei como resposta x \approx 23^o, x \approx 157^o, x \approx 68^o e x \approx 112^o

O quê acham?
"Sabedoria é saber o que fazer;
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 16, 2012 22:30

Como apresentada, a questão não faz sentido. Não é possível igualar uma matriz a um número. Falta algo no enunciado.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor vmo_apora » Ter Set 18, 2012 08:27

Esse \frac{17}{32} deve ser o valor do determinante da matriz. No final deve ficar alguma coisa parecida com isso
-{sen}^{8}x-{cos}^{8}x=\frac{17}{32}. Aí é só resolver a equação.
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor young_jedi » Ter Set 18, 2012 21:00

mesmo assim ainda falta algo pois para qualquer valor de x

sen^8x>0

e

cos^8x>0

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-(sen^8x+cos^8x)<0

não tem como ser igual a \frac{17}{32}
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor DanielFerreira » Ter Set 18, 2012 21:06

Vmo_apora,
boa noite!
A ideia é mesmo essa. No entanto, cometi um erro no sinal negativo. O correto seria:
danjr5 escreveu:Encontre o valor de x:

\begin{bmatrix} sen^8 \, x & cos^8 \, x \\ - 1 & 1 \end{bmatrix} = \frac{17}{32}

Muito interessante essa questão!
Não tenho o gabarito, mas achei como resposta x \approx 23^o, x \approx 157^o, x \approx 68^o e x \approx 112^o

O quê acham?
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor DanielFerreira » Ter Set 18, 2012 21:09

young_jedi escreveu:mesmo assim ainda falta algo pois para qualquer valor de x

sen^8x>0

e

cos^8x>0

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-(sen^8x+cos^8x)<0

não tem como ser igual a \frac{17}{32}

E agora Young_jedi, é possível?
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor young_jedi » Ter Set 18, 2012 21:55

agora é possivel so não tão sipmples

temos que

(sen^2x+cos^2x)^4&=&1

por binomio de newton

sen^8x+4sen^6x.cos^2x+6sen^4x.cos^4x+4sen^2x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^6x.cos^2x+8sen^4x.cos^4x-2sen^4x.cos^4x+4sen^2x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^6x.cos^2x+2sen^4x.cos^4x+sen^2x.cos^4x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^4x.cos^2x+sen^2x.cos^4x)(sen^2x+cos^2x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4(sen^4x.cos^2x+sen^2x.cos^4x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^2x.cos^2x(sen^2x+cos^2x)-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

sen^8x+4sen^2x.cos^2x-2sen^4x.cos^4x+cos^8x&=&1

como 2senx.cosx&=&sen(2x) então

sen^8x+sen^2(2x)-\frac{1}{8}.sen^4(2x)+cos^8x&=&1

sen^8x+cos^8x&=&1-sen^2(2x)+\frac{1}{8}.sen^4(2x)

substituindo na equação do determinante

1-sen^2(2x)+\frac{1}{8}.sen^4(2x)&=&\frac{17}{32}

4.sen^4(2x)-32sen^2(2x)+15&=&0

substituindo 2sen^2(2x)&=&y

y^2-16y+15&=&0

y&=&\frac{16\pm\sqrt{16^2-60}}{2}

y&=&\frac{16\pm 14}{2}

{y}_{1}&=&1

{y}_{2}&=&-15

como 2sen^2(2x)&=&y a segunda raiz não convem

sen(2x)&=&\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

2x&=&\{45^o,135^o,225^o,315^o\}

x&=&\{22.5^o,67.5^o,112.5^o,157.5^o\}
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor DanielFerreira » Qui Set 20, 2012 21:22

Olá young_jedi,
boa noite!
Ótima resolução.


Segue a forma como fiz:

sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32}

De sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 temos:

\begin{cases} sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32} \\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \end{cases}

Segue que:

\\ (sen^2 \, x + cos^2 \, x)^2 = 1^2 \\\\ sen^4 \, x + 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + cos^4 \, x = 1 \\\\ (sen^4 \, x + cos^4 \, x)^2 = (1 - 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x)^2 \\\\ sen^8 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 4 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x = \\\\ sen^8 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ \frac{17}{32} = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ 64 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x - 128 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\ \Delta = 12.544 \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{128 \pm 112}{128} \\\\\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{15}{8}} \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{1}{8}}\end{cases}



Quando \boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8}}:

\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\ \boxed{\Delta < 0}



Quando \boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8}}:


\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 1 = 0 \\\\ \Delta = 32 \\\\ cos^2 \, x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16}


\\ \begin{cases} cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\\\ cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\end{cases}


Calculando o valor de x:

\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 23^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 157^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 68^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 112^o
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor young_jedi » Qui Set 20, 2012 22:42

danjr5,

muito interssante tanto a postagem da questão como seu metodo de solução
vi uma outra solução em que se fazia uma substituição e chegava num polinomio do quarto grau, mais achar as raizes do polinomio era meio complicado
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Re: Matriz trigonométrica

Mensagempor tenebroso » Qua Dez 18, 2013 22:47

dá uma ajudinha em minhas questões aí, quero fazer elas faça favor.... :y: :oops:
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)