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Probabilidades

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Probabilidades

Mensagempor joaofonseca » Ter Abr 10, 2012 18:35

Num saco existem n bolas numeradas. Metade têm um número negativo e a outra metade têm um número positivo.
Retiram-se ao acaso duas bolas sem reposição.
Sejam dois acontecimentos:
A-"o produto dos dois números é positivo"
B-"o produto dos dois números é negativo"

Qual dos acontecimentos tem maior probabilidade de se verificar?
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Re: Probabilidades

Mensagempor fraol » Ter Abr 10, 2012 20:28

Veja se você concorda com o raciocínio a seguir:

As probabilidades, caso a caso, são:

Pos = Neg e Neg => \frac{n}{2n} . \frac{n-2}{2n} = \frac{n^2 - 2n}{4n^2}

Pos = Pos e Pos => \frac{n}{2n} . \frac{n-2}{2n} = \frac{n^2 - 2n}{4n^2}

Neg = Neg e Pos => \frac{n}{2n} . \frac{n}{2n} = \frac{1}{4}

Neg = Pos e Neg => \frac{n}{2n} . \frac{n}{2n} = \frac{1}{4}

Positivo: A soma dos primeiros 2 casos é a soma de duas parcelas menores que 1/4 que é menor que 50%.

Negativo: A soma dos últimos 2 casos é igual a 50%. Assim o evento B tem maior probabilidade de ocorrer.

Ok?

.
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Re: Probabilidades

Mensagempor joaofonseca » Qua Abr 11, 2012 05:58

A minha abordagem foi:

Casos possíveis: n(n-1), pois a cada uma das n bolas pode-se associar uma das restantes.

Acontecimento A:

Casos favoráveis:

Pos x Pos: \frac{n}{2} \cdot (\frac{n}{2}-1)

Neg x Neg: \frac{n}{2} \cdot (\frac{n}{2}-1)

Logo:

2 \cdot \left[\frac{n}{2} \cdot (\frac{n}{2}-1)\right]=n \cdot (\frac{n}{2}-1)=\frac{n^2}{2}-n=\frac{n^2-2n}{2}

A probabilidade é:

\frac{n^2-2n}{2}\cdot \frac{1}{n(n-1)}=\frac{n(n-2)}{2n(n-1)}=\frac{n-2}{2n-2}


Para o acontecimento B:

Casos favoráveis:
\frac{n}{2} \cdot \frac{n}{2}=\frac{n^2}{4}

A probabilidade é:

\frac{n^2}{4} \cdot \frac{1}{n(n-1)}=\frac{n}{4n-4}

Calculando o limite quando x \to +\infty de ambas expressões cheguei a \frac{1}{2} para o acontecimento A e \frac{1}{4} para o acontecimento B.

Algo deve estar errado no meu raciocínio.
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Re: Probabilidades

Mensagempor fraol » Qua Abr 11, 2012 11:24

Bom dia João,

O meu raciocínio tem um furo ( no total de casos considerados ).
Mais tarde vou revisar e posto a correção.
Também vou analisar a sua resposta.

Grato.
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Re: Probabilidades

Mensagempor fraol » Qua Abr 11, 2012 14:42

João,

Ao considerar corretamente o total de casos na retirada da segunda bola, as minhas contas ficam iguais às suas, exceto, no caso B, em:

joaofonseca escreveu:\frac{n^2}{4} \cdot \frac{1}{n(n-1)}=\frac{n}{4n-4}


Nesse caso, ao meu ver, é necessário considerar a situação NEG e POS e a POS e NEG, logo devemos multiplicar por 2 o seu resultado que ficaria:

\frac{n}{2n-2}

Assim ficamos com:

A = \frac{n-2}{2n-2}

B = \frac{n}{2n-2}

O que dá B > A; pois B > A, se B - A é um número positivo.

(João, o seu desenvolvimento da solução é bastante didático, muito bom.)

.
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Re: Probabilidades

Mensagempor joaofonseca » Qua Abr 11, 2012 17:06

Realmente é coenrente que a ordem conte na contabilização dos casos favoráveis ao acontecimento B, já que a contabilização dos casos possíveis também levou em conta a ordem.
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Re: Probabilidades

Mensagempor fraol » Qua Abr 11, 2012 17:20

joaofonseca escreveu:Realmente é coenrente que a ordem conte na contabilização dos casos favoráveis ao acontecimento B, já que a contabilização dos casos possíveis também levou em conta a ordem.


Sim.
Também é coerente que as probabilidades sejam em função de n já que o exercício é genérico.
Também faz sentido a probabilidade de ocorrer um número negativo ser maior pois, quando retiramos a 1a. bola com um sinal restarão no saco mais bolas com o sinal oposto, (\frac{n}{2}), do que com o mesmo sinal da 1a. bola (\frac{n}{2}-1).
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59


cron