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Quadrado Perfeito?
Enviado:
Qui Nov 25, 2010 17:00por Molina
Boa tarde!
Encontrei este desafio pelos corredores da universidade e já aviso que não tenho a resposta. Então seria interessante debatermos sobre o problema, aí vai:
O número 111...10888...89 com n algarismos 1 e n algarismos 8 é um quadrado perfeito? 
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Qui Nov 25, 2010 18:13por victoreis1
3 x 3 = 09 (0 algarismos 1 e 0 algarismos 8)
33 x 33 = 1089 (1 algarismo 1 e 1 algarismo 8)
333 x 333 = 110889 (2 algarismos 2 e 2 algarismos 8)
333.. (n vezes 3) x 333.. (n vezes 3) = 11...088...9 (n-1 algarismos 1 e n-1 algarismos 8)
que tipo de prova ele pede; tem que usar aritmética modular, ou pode ser por indução mesmo?
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Qui Nov 25, 2010 18:16por Molina
Ninguém pede nada, Victor.
Mas por ser n natural acredito que saia por indução mesmo...
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Qui Jan 06, 2011 16:25por Renato_RJ
Se o problema é sobre quadrados perfeitos, acredito que tenhamos que utilizar congruência... Além de que, os quadrados perfeitos quando divididos por 3 ou 4 apresentam restos 1 ou 0.
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Seg Fev 07, 2011 09:26por Otavio Rubiao
Se ainda estiverem interessados na resolução:
Escrevendo os termos do numero 111...1088...89 como a soma de outro numeros temos:
111..11000..00 onde (11...11) = n numeros e (000....000) = n + 2
888...880 onde (888...8) = n
percebemos que o primeiro e o segundo numeros podem ser escritos com a soma de uma PG:
1.10^n+2 + 10.10^n+2 + 100.10^n+2 +...+ 10^2n+1 = 10^n+2.(10^n - 1)/10 - 1
80 + 800 + 8000 +...+ 8.10^n = 80.( 10^n - 1)/10 - 1
9 = 9
logo: 1111...10888....89 = (10^2n+2 - 10^n+2 + 80.10^n - 80 + 81)/9 desenvolvendo :
111...10888...89 = ((10^n+1 - 1)/3)² C.Q.D
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Seg Abr 16, 2012 19:24por alessandro
Fiz uma questão bem similar a essa, que vai te ajudar!!
Veja:
http://www.4shared.com/office/7PCHO5pg/ ... m_qua.html
Re: Quadrado Perfeito?
Enviado:
Sex Mai 11, 2012 16:28por pedroaugustox47
simples representação decimal:
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![\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=](/latexrender/pictures/c9da60c6e1dfad77d6056dd7a0cba5f4.png "\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=")
.
![\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=](/latexrender/pictures/88c6f1e0dce10bd07c96ab3c8276109a.png "\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=")
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![\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2](/latexrender/pictures/414519d556d9894bbcfe7a88f647a9f1.png "\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2")
...... C.Q.D
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abraços