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Quadrado Perfeito?

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 17:00

Boa tarde!

Encontrei este desafio pelos corredores da universidade e já aviso que não tenho a resposta. Então seria interessante debatermos sobre o problema, aí vai:

O número 111...10888...89 com n algarismos 1 e n algarismos 8 é um quadrado perfeito?

:idea:
*-)
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor victoreis1 » Qui Nov 25, 2010 18:13

3 x 3 = 09 (0 algarismos 1 e 0 algarismos 8)
33 x 33 = 1089 (1 algarismo 1 e 1 algarismo 8)
333 x 333 = 110889 (2 algarismos 2 e 2 algarismos 8)

333.. (n vezes 3) x 333.. (n vezes 3) = 11...088...9 (n-1 algarismos 1 e n-1 algarismos 8)

que tipo de prova ele pede; tem que usar aritmética modular, ou pode ser por indução mesmo?
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 18:16

Ninguém pede nada, Victor.

Mas por ser n natural acredito que saia por indução mesmo...

:y:
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Renato_RJ » Qui Jan 06, 2011 16:25

Se o problema é sobre quadrados perfeitos, acredito que tenhamos que utilizar congruência... Além de que, os quadrados perfeitos quando divididos por 3 ou 4 apresentam restos 1 ou 0.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Otavio Rubiao » Seg Fev 07, 2011 09:26

Se ainda estiverem interessados na resolução:

Escrevendo os termos do numero 111...1088...89 como a soma de outro numeros temos:

111..11000..00 onde (11...11) = n numeros e (000....000) = n + 2

888...880 onde (888...8) = n

percebemos que o primeiro e o segundo numeros podem ser escritos com a soma de uma PG:

1.10^n+2 + 10.10^n+2 + 100.10^n+2 +...+ 10^2n+1 = 10^n+2.(10^n - 1)/10 - 1
80 + 800 + 8000 +...+ 8.10^n = 80.( 10^n - 1)/10 - 1
9 = 9

logo: 1111...10888....89 = (10^2n+2 - 10^n+2 + 80.10^n - 80 + 81)/9 desenvolvendo :
111...10888...89 = ((10^n+1 - 1)/3)² C.Q.D
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor alessandro » Seg Abr 16, 2012 19:24

Fiz uma questão bem similar a essa, que vai te ajudar!!

Veja: http://www.4shared.com/office/7PCHO5pg/ ... m_qua.html
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor pedroaugustox47 » Sex Mai 11, 2012 16:28

simples representação decimal:
.
\frac{1111111...111111}{n.uns}0\frac{88888...88888}{n.oitos}9=
.
\left( \frac{10^n-1}{9} \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right) + 8.\left(\frac{10^n-1}{9} \right).10 +9 =
.
\frac{\left(10^n \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right)-\left(10^\left(n+2 \right) \right)}{9} + \frac{80.\left(10^n-1 \right)}{9}+ \frac{81}{9} =
.
\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=
.
\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=
.
\frac{\left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 -20.10^n +1}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n \right)^2 - 2.\left(10.10^n \right).1 +1^2}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n-1 \right)^2}{9}=
.
\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2 ...... C.Q.D
.
abraços :y:
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D