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Última mensagem por Janayna
em Qui Abr 27, 2017 00:04
Regras do fórum
A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.
por victoreis1 » Dom Out 24, 2010 16:14
Essa questão caiu na terceira fase da obm desse ano, do nível 3:
Encontre todos os pares de inteiros positivos
tais que
Já tentei fazer por congruência modular, não deu certo..
alguém tem alguma ideia?
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victoreis1
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por VtinxD » Ter Out 26, 2010 23:29
Tive uma ideia aki mas não sei se esta certo.
Pela congruencia modular:
,perceba que se" b" for impar "a" é impar e se "b "for par "a" é par.
Tendo isto em mente voltamos para a igualdade:
{3}^{a}-2{b}^{2}=1
Se "a" for impar teremos:a=2n+1 e b=2k+1
e como n e k são naturais essa equação é impossivel.
Utilizando a mesma tecnica para "a" par: a=2g e b=2r
que por acaso a unica solução é a trivial.
Espero ter ajudado(e certo hehe).
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VtinxD
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por victoreis1 » Qua Out 27, 2010 14:13
no primeiro caso, com a e b ímpares e a=2n+1 e b=2k+1, note que, se
, temos:
daí temos que
(visto que k deve ser positivo) e
e
.
Veja que sim, é possível que existam soluções para a e b ímpares; o problema é, esta é a única solução para a e b ímpares, ou há outras? é isso que não sei dizer..
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victoreis1
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por VtinxD » Qua Out 27, 2010 16:33
Tenho outra ideia,o teorema util de fermat:
, como (p-1) é sempre par,para todo primo maior que 2, então "b=2k" mas o que é impossível dado que para
b=p. Tornando assim impossível "b" par ,para todo a=(p-1) maior do que 2.
Agora espero estar certo.
Só falta uma parte agora, já volto.
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VtinxD
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por al-mahed » Sáb Dez 11, 2010 21:55
Olá, primeiro suponha a par
, assim
.
como
, então um fator 2 de um cancela o 2 em 2b^2, como nenhnum outro fator divide ambos os termos, teremos que um deles é um quadrado par, já que um deles é divisível por dois, e o outro por 4, e nenhum quadrado par pode ser incongruente a 4
digamos que
então uam solução é (2,2), pois como 3 é primo ele não pode ser decomposto em dois fatores distintos c-1 e c+1, logo o menor é igual a 1
agora digamos que
, mas
, impossível para c inteiro, veja que k deve ser par pois
se e somente se 3^k é da forma 4n+1, pois se k for ímpar 3^k será a forma 4n+3, e 4n+3-1 não é divisível por 4
logo a única solução com a sendo par é (2,2).
para a ímpar o buraco é mais embaixo
, então
assim
há duas soluções triviais k = 0 (a=1) e b = 1, ou a = 0 e b = 0, e ñ há inteiro k, mas suponha que k>0
como
b é ímpar
já que
é um quadrado perfeito ímpar, ele deve ser da forma
, logo
isso significa que
deve ser triangular, já que
é triangular
uma solução em que ambos são triangulares é quando
para completar a prova indo nessa direção teria que mostrar que não há outras soluções tal que
seja triangular e
seja uma potência de 3.
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al-mahed
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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