Olá, primeiro suponha a par
, assim
.
como
, então um fator 2 de um cancela o 2 em 2b^2, como nenhnum outro fator divide ambos os termos, teremos que um deles é um quadrado par, já que um deles é divisível por dois, e o outro por 4, e nenhum quadrado par pode ser incongruente a 4
digamos que
então uam solução é (2,2), pois como 3 é primo ele não pode ser decomposto em dois fatores distintos c-1 e c+1, logo o menor é igual a 1
agora digamos que
, mas
, impossível para c inteiro, veja que k deve ser par pois
se e somente se 3^k é da forma 4n+1, pois se k for ímpar 3^k será a forma 4n+3, e 4n+3-1 não é divisível por 4
logo a única solução com a sendo par é (2,2).
para a ímpar o buraco é mais embaixo
, então
assim
há duas soluções triviais k = 0 (a=1) e b = 1, ou a = 0 e b = 0, e ñ há inteiro k, mas suponha que k>0
como
b é ímpar
já que
é um quadrado perfeito ímpar, ele deve ser da forma
, logo
isso significa que
deve ser triangular, já que
é triangular
uma solução em que ambos são triangulares é quando
para completar a prova indo nessa direção teria que mostrar que não há outras soluções tal que
seja triangular e
seja uma potência de 3.