• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Uma prova por indução

Regras do fórum
A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Uma prova por indução

Mensagempor alexandre32100 » Ter Ago 17, 2010 01:11

Prove que
\displaystyle{1+2\cdot\binom{n}{1}+4\cdot\binom{n}{2}+\ldots+2^{n-1}\cdot\binom{n}{n-1}+2^n\cdot\binom{n}{n}=3^n}
usando indução sobre n.
alexandre32100
 

Re: Uma prova por indução

Mensagempor Douglasm » Ter Ago 17, 2010 10:13

Olá Alexandre. Não me vem a mente no momento um jeito de provar isso por indução, mas um jeito muito mais simples e objetivo seria comparar essa soma com o desenvolvimento de um binômio. Note que:

(x + y)^n = \sum_{k=0}^n x^{n-k}.y^k . \binom{n}{k}

A soma que você tem é:

\sum_{k=0}^n 1^{n-k}.2^k.\binom{n}{k}

Consequentemente, essa soma corresponde ao binômio:

(1 + 2)^n = 3^n

Mas fica em aberto para alguém demonstrar isso usando o método de indução, que é o que pede o problema. Até a próxima.
Avatar do usuário
Douglasm
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 270
Registrado em: Seg Fev 15, 2010 10:02
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: formado

Re: Uma prova por indução

Mensagempor Guill » Qui Mai 03, 2012 00:01

Suponhamos que a seguinte igualdade é verdade para um número n:

\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n} = 3^n


Dessa forma:

\binom{n+1}{0}+2.\binom{n+1}{1}+4.\binom{n+1}{2}+...+2^n.\binom{n+1}{n}+2^{n+1}.\binom{n+1}{n+1}


Pelo Teorema de Stifell:

\binom{n}{0}+2.\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n-1}+2^n.\binom{n}{n}+2^{n+1}.\binom{n+1}{n+1}

3.\binom{n}{0}+6.\binom{n}{1}+12.\binom{n}{2}+...+3.2^{n-1}.\binom{n}{n-1}+3.2^n.\binom{n}{n}

3.\left(\binom{n}{0}+2.\binom{n}{1}+4.\binom{n}{2}+...+2^n.\binom{n}{n} \right)=3^{n+1}



Uma vez provada essa propriedade, basta testar para n = 1, o que resulta em 3¹ = 3.
Avatar do usuário
Guill
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 107
Registrado em: Dom Jul 03, 2011 17:21
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Andamento: cursando


Voltar para Desafios Difíceis

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 1 visitante

 



Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)