Trigonometria afiada

por **LuizAquino** » Sáb Mar 12, 2011 21:05

Eis um exercício para testar o seu nível de conhecimento em trigonometria!

Ele é indicado como "um bom exercício de trigonometria" no livro "Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial" de Paulo Boulos e Ivan de Camargo. Ele aparece na seção que trata sobre aplicação de rotação de eixos no estudo das cônicas. No livro ele não possui um enunciado, portanto aqui eu vou criar um.

Sejam A, B e C números reais, com $A\neq C$ , tais que $\tan 2\theta = \frac{B}{A-C}$ .

Prove que as raízes da equação $\begin{vmatrix}A-x & \frac{B}{2} \\ \frac{B}{2} & C - x\end{vmatrix} = 0$ são:

$x_1 = A\cos ^2 \theta + \frac{B}{2}\sin 2\theta + C\sin ^2 \theta$

$x_2 = A\sin ^2 \theta - \frac{B}{2}\sin 2\theta + C\cos ^2 \theta$

Divirtam-se!

por **MarceloFantini** » Dom Mar 13, 2011 03:14

Odeio contas trigonométricas, são muito chatas.

por **Renato_RJ** » Dom Mar 13, 2011 03:39

Fantini escreveu:Odeio contas trigonométricas, são muito chatas.

Também acho, mas achei o desafio bem legal e resolvi tentar... Amanhã vou iniciar os cálculos... Mas prefiro questões semelhantes aquela da sequência (ou algo relacionado a teoria dos números)...

por **LuizAquino** » Seg Mar 14, 2011 13:51

Dica
Se

e

são raízes da equação $x^2 - (A+C)x + AC -\frac{B^2}{4} = 0$ , então deve ocorrer:
(i) x_1 + x_2 = A+C

(ii) $x_1x_2 = AC- \frac{B^2}{4}$

Lembrete
As seguintes identidades trigonométricas são válidas:
(i) $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$

(ii) $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}(1 - \cos 2\theta)$

(iii) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

(iv) $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}$

Aviso
Não se assuste se você precisar fazer muitos cálculos e simplificações para resolver o exercício. Ele é trabalhoso!

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