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Problema - papel

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Problema - papel

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 20:48

(UERJ) Pedro foi comprar papel para a impressora e observou que em cada pacote havia a seguinte especificação: 100 folhas de papel 75 g/m² no formato 215 mm X 315 mm.
O valor mais próximo, em kg, do conteúdo de cada pacote é:
a) 0,5
b) 1,6
c) 2,3
d) 5,0
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Re: Problema - papel

Mensagempor Renato_RJ » Dom Set 16, 2012 20:59

Boa noite !!!

Vamos ver se posso lhe ajudar...

215 mm = 0,215 m \quad , \quad 315 mm = 0,315 m

Logo a área, em metros quadrados, de cada folha será:

A = 0,215 m \cdot 0,315 m = 0,0677 m^2

Como a densidade do papel é de \frac{75g}{m^2}, então sabemos que o peso da folha de papel será o produto da área pela densidade, resultando no peso em gramas:

P = 0,0677 m^2 \cdot \frac{75g}{m^2} = 50,775 g \approx 0,05 Kg

Como temos 100 folhas, logo o peso aproximado do pacote será de 5 Kg....

Espero que tudo esteja certinho...

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Re: Problema - papel

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 21:10

Olá Renato,
boa noite!
Cometeu um pequeno lapso (talvez de digitação), veja:

\\ P = 0,0677 \, m^2 \cdot \frac{75g}{m^2} \\\\\\ \boxed{P = 5,0775 \,g}

...

Daí, 0,5 \, kg
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Re: Problema - papel

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 21:20

Fiz assim:

Calculando a massa...

\\ \boxed{d = \frac{m}{v}} \\\\\\ m = \frac{75 \, g}{m^2} \cdot \frac{215 \, m}{1000} \cdot \frac{315 \, m}{1000} \\\\\\ m = 5,07 \, g

Aplicando uma regra de três simples...
1 folha --------------------- 5,07 g
100 folhas ----------------- x
(dir.)

x = 507 gramas

x = 0,507 kg
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Re: Problema - papel

Mensagempor Renato_RJ » Dom Set 16, 2012 21:25

Opa, valeu !!!

Na hora de fazer a conta, em vez de digitar 0,0677 eu digitei 0,677, por isso apareceu os 50,77 gramas....

Erro meu mesmo....

Obrigado pela informação !!!

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Re: Problema - papel

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 21:30

Já imaginava!!
Isso também acontece comigo.

Até logo.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D