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Quem é maior?

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Mensagempor victoreis1 » Qui Nov 25, 2010 18:40

Quem é maior, 3^{2^{4^{5}}} ou 2^{3^{4^{5}}} ?

obs: note-se que 3^{2^{4^{5}}} \neq (3^{2^{4}})^{5}

não consegui fazer.. se forem tentar, por favor, nem tentem calcular "quanto vale" cada número..
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Re: Quem é maior?

Mensagempor victoreis1 » Sex Nov 26, 2010 01:27

acho que consegui.. vejam se tá certo:

seja x = 4^{5}. Suponha que 3^{2^{x}} > 2^{3^{x}}.

Usando logaritmo:

2^{x} ln(3) > 3^{x} ln(2)

\frac{2^{x}}{3^{x}} > \frac {ln(2)}{ln(3)}

({\frac{2}{3}}})^{x} > \frac {ln(2)}{ln(3)}

x ln(\frac{2}{3}) < ln(\frac {ln(2)}{ln(3)})

x < \frac{ln(\frac {ln(2)}{ln(3)})}{ln(\frac{2}{3})} \approx 1,13588

já que x = 4^5, então x > 1,13 (absurdo)

logo temos que 3^{2^{x}} < 2^{3^{x}}.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Loretto » Sex Nov 26, 2010 01:29

3^{2^{4^{5}}} > 2^{3^{4^{5}}}
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Rogerio Murcila » Sex Nov 26, 2010 13:24

{3}^{{2}^{{4}^{{5}}}} = {10}^{{10}^{308}}

{2}^{{3}^{{4}^{{5}}}} = {10}^{{10}^{{489}}}}
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Loretto » Sex Nov 26, 2010 14:03

Vamos lá.

Pergunta-se qual das potências seguintes é a maior:

[(3²)^4]^5
ou
[(2³)^4]^5

Veja que cada uma pode ser reescrita assim:

3^40
ou
2^60

Agora, para saber qual a maior, vamos aplicar logaritmo a cada uma, ficando:

log3^40 -------> 40log3

ou

log2^60 -----> 60log2

Como log3 é aproximadamente 0,4771 e log2 é aproximadamente 0,30103, vamos substituir em cada uma das expressões:

40log3 ----> 40*0,4771 = 19,084
ou
60log2 ----> 60*0,30103 = 18,062

Veja que o número formado a partir de 3^40 tem 20 algarismos (19 da característica do logaritmo + uma unidade).
E o número formado a partir de 2^60 tem 19 algarismos(18 da característica do logaritmo + 1 unidade).

Então, 3^40 é maior do que 2^60.

OK?
Adjemir.
Editado pela última vez por Loretto em Sex Nov 26, 2010 14:08, em um total de 1 vez.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Loretto » Sex Nov 26, 2010 14:05

Espero que ajude !
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Re: Quem é maior?

Mensagempor victoreis1 » Sex Nov 26, 2010 14:35

tá errado loretto

({3^{2}})^{4^{5}} \neq 3^{2^{4^{5}}}
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Rogerio Murcila » Sex Nov 26, 2010 15:53

Vamos lá:

Resolvendo o primeiro numero {3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}
Temos --- {4}^{{5}} = 1024
ai fica
{3}^{{2}^{{4}^{{5}}}} = {3}^{{2}^{1024}} = {3}^{1,797693134862315907729305190789}^{{10}^{308}} \approx {10}^{{10}^{308}}

Resolvendo o segundo numero {2}^{{3}^{{4}^{{5}}}}
Temos --- {4}^{{5}} = 1024
ai fica
{2}^{{3}^{{4}^{{5}}}} = {2}^{{3}^{1024}} = {2}^{3,7339184874102004353295975418487}^{{10}^{{489}}}} \approx {10}^{{10}^{489}}

Portanto {2}^{{3}^{{4}^{{5}}}} é maior que {3}^{{2}^{{4}^{{5}}}}
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Re: Quem é maior?

Mensagempor 0 kelvin » Sex Nov 26, 2010 19:34

É, no começo achei q dava pra multiplicar os expoentes como se fosse (a^b)^c mas como tem aquela indicação que não pode fazer isso, então a conclusão q eu tinha chegado tb q era: 81^{10} > 64^{10} é falsa por potenciação feita errado.

Eu só sei fazer quando a questão dá pelo menos um log aproximado, pq aí é só fatorar.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Loretto » Sex Nov 26, 2010 23:28

Quem disse que não podi ? Num é tudo potência ? Intão podi uai !!
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Re: Quem é maior?

Mensagempor MarceloFantini » Sex Nov 26, 2010 23:37

Eu sinceramente espero que você esteja brincando, Loretto.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Lorettto » Sáb Nov 27, 2010 01:37

"Quem disse que não podi ? Num é tudo potência ? Intão podi uai !!"

O meu comentário acima foi para a resolução que eu postei. Ou seja, estando tudo entre parênteses, faça a minha resolução. Senão, não faça. E brincar, eu só brinco com quem eu conheço, e de preferência, amigos ! :y:
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Re: Quem é maior?

Mensagempor victoreis1 » Sáb Nov 27, 2010 01:39

Mais outra, quem sabe um pouco mais difícil.

Peço-lhes novamente que resolvam logicamente/algebricamente, não tentem calcular, não tem graça ^^

Quem é maior, 50! ou 20^{50} ?
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Lorettto » Sáb Nov 27, 2010 02:13

20^{50} > 50 !
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Re: Quem é maior?

Mensagempor 0 kelvin » Sáb Nov 27, 2010 11:44

Potência de base 2, uma hora dobra e passa o fatorial, depois dobra, dobra e o fatorial fica pra trás.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor victoreis1 » Sáb Nov 27, 2010 12:25

Ambos estão certos, mas notem que não é tão óbvio assim. Notem que 51! > 20^{50}.

Alguém consegue fazer essa questão sem ser indutivamente?
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Re: Quem é maior?

Mensagempor 0 kelvin » Sáb Nov 27, 2010 12:31

Função?

f(x) = x!
f(x) = 2^x
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Re: Quem é maior?

Mensagempor meuemail » Seg Dez 13, 2010 01:12

{3}^{{2}^{{4}^{5}}} . . . . {2}^{{3}^{{4}^{5}}}
Mas isto é válido
{{3}^{2}}^{y}} . . . . {{2}^{3}}^{y}}
Editado pela última vez por meuemail em Seg Dez 13, 2010 02:04, em um total de 3 vezes.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor Lorettto » Seg Dez 13, 2010 01:23

Isso resolve de modo direto a qualquer questão de maior , menor de potências gigantes !! Claro, apenas quando estamos elevados a potências iguais, aí a base determina mesmo.
Editado pela última vez por Lorettto em Seg Dez 13, 2010 01:27, em um total de 1 vez.
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Re: Quem é maior?

Mensagempor MarceloFantini » Seg Dez 13, 2010 01:24

Não, isto não é válido. Veja:

2^{3^{4^5}} \neq (2^3)^{4^5} = 2^{3 \cdot 4^5}
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?