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(n k)=(n n-k)

A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
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(n k)=(n n-k)

Mensagempor alexandre32100 » Ter Nov 23, 2010 16:27

Que \displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} todos nós sabemos, mas alguém sabe provar esta igualdade, sem, no entanto, usar-se da fórmula algébrica?
alexandre32100
 

Re: (n k)=(n n-k)

Mensagempor victoreis1 » Ter Nov 23, 2010 17:08

usando a fórmula dá pra provar facilmente.. se vc construir o triângulo de pascal também..

como exatamente provar?
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Re: (n k)=(n n-k)

Mensagempor alexandre32100 » Ter Nov 23, 2010 20:43

Usando a dialética (argumentos combinatórios), talvez.
alexandre32100
 

Re: (n k)=(n n-k)

Mensagempor alexandre32100 » Qua Nov 24, 2010 13:06

Ah, um argumento seria o seguinte:
\dbinom{n}{k} corresponde à contagem de quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de um conjunto de n. Esta mesma contagem pode ser feita escolhendo quais os n-k elementos que não farão parte dos grupos (e consequentemente os que não serão escolhidos farão parte), \dbinom{n}{n-k} grupos.
Assim conclui-se que \displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.
alexandre32100
 

Re: (n k)=(n n-k)

Mensagempor victoreis1 » Qua Nov 24, 2010 20:12

alexandre32100 escreveu:Ah, um argumento seria o seguinte:
\dbinom{n}{k} corresponde à contagem de quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de um conjunto de n. Esta mesma contagem pode ser feita escolhendo quais os n-k elementos que não farão parte dos grupos (e consequentemente os que não serão escolhidos farão parte), \dbinom{n}{n-k} grupos.
Assim conclui-se que \displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.


exatamente, pois para cada subconjunto k de elementos de n, haverá sempre um subconjunto complementar n-k, daí que há a mesma quantidade destes subconjuntos..
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.