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Problema: ovelha

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Problema: ovelha

Mensagempor tsfa » Sáb Nov 03, 2012 15:55

Boa tarde!
Gostaria que me ajudassem no seguinte problema, já o tentei resolver mas pelo que parece a minha resolução é fácil demais e não deve ser a correcta, acho que o problema não é complicado. Pertence à disciplina de Geometria II
O enunciado é o seguinte:
Num campo plano uma ovelha anda 3 metros para Sudoeste, depois 5m para Sudeste, depois 6m para Oeste e finalmente 4m para Sul. A que distância fica do ponto de partida?
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Re: Problema: ovelha

Mensagempor young_jedi » Sáb Nov 03, 2012 17:14

imagine que inicialmente ele esta no centro de um plano x y, no eixo y para cima é norte para baixo é sul e no eixo x para a direita é leste e esquerda oeste

se ele se move para 3 metros para sudoeste então ele se move numa trajetoria que faz um angulo de 45º com o eixo x e y então temos que calcular a distancia que ele se move para sul e para oeste aplicando seno e cosseno

d_{oeste}=3.cos45^0=3\frac{\sqrt{2}}{2}

e para sul

d_{sul}=3.cos45^0=3\frac{\sqrt{2}}{2}

depois para sudeste

d_{leste}=5.cos45^0=5\frac{\sqrt{2}}{2}

d_{oeste}=5.cos45^0=5\frac{\sqrt{2}}{2}

como ele ja tinha se movido para oeste e depois voltou para leste

d_{oeste}=3\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\frac{\sqrt2}{2}

e para sul

d_{sul}=5\frac{\sqrt2}{2}+3\frac{\sqrt{2}}{2}=8\frac{\sqrt2}{2}

e por fim temos as distancias percorridas para 4 sul e 6 para oeste

d_{oeste}=-2\frac{\sqrt2}{2}+6

d_{sul}=8\frac{\sqrt2}{2}+4

então calculando a distancia total

d=\sqrt{\left(8\frac{\sqrt2}{2}+4\right)^2+\left(-2\frac{\sqrt2}{2}+6\right)^2}

d=\sqrt{32+32\sqrt{2}+16+2-12\sqrt{2}+36}

d=\sqrt{84+20\sqrt2}
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Re: Problema: ovelha

Mensagempor sony01 » Qui Nov 08, 2012 20:50

Apenas uma sujestão a expressão encontrada na resposta pode ser simplificado usando os conhecimentos de radical duplo.
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Re: Problema: ovelha

Mensagempor tsfa » Sex Nov 16, 2012 16:37

Muito obrigado pela ajuda :)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}