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Valor da expressão

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Valor da expressão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Set 16, 2012 21:26

(UFRJ) Sabendo que x, y e z são números reais e (2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0 então, x + y + z é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: Valor da expressão

Mensagempor young_jedi » Dom Set 16, 2012 21:34

se x, y e z sao valores reais então

(2x+y-z)^2,(x-y)^2,(z-3)^2

são numeros positivos, portanto para que a expressão resulte em 0

temos que

2x+y-z&=&0

x-y&=&0

z-3&=&0

portanto

z=3

x&=&y

2x+x-3&=&0

x&=&y&=&1

logo

x+y+z&=&1+1+3&=&5
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Re: Valor da expressão

Mensagempor Renato_RJ » Dom Set 16, 2012 21:34

Se (2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0 \Rightarrow \left \{\begin{array}{c} z - 3 = 0 \\  x - y = 0 \\  2x + y  - z = 0  \end{array} \right.

Resolvendo o sistema, temos:

z = 3 \quad , \quad x = y = 1

Logo a resposta é 5...

Espero que tudo esteja certinho....
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Re: Valor da expressão

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 16, 2012 21:35

Uma soma de quadrados é igual a zero se e somente se todos são iguais a zero, então

\begin{cases} 2x+y-z=0, \\ x-y=0, \\ z-3=0, \end{cases}

daí z=3, x=y e 2x+y-z = 3x-3=0 \rightarrow x=y=1. Logo x+y+z=5.

Danjr, tente postar suas tentativas de resolução.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}