Prove que a bola está no saco

por **joaofonseca** » Sáb Mar 03, 2012 20:31

Num saco existem 15 bolas.Cinco verdes, cinco amarelas e cinco brancas.As bolas da mesma cor estão numeradas de 1 a 5.

Agora suponha que no saco estão algumas das 15 bolas.Nestas novas condições, uma bola é retirada do saco.Sabemos que:

-a probabilidade de a bola retirada ser amarela é 50%

-a probabilidade de a bola retirada ter o número 1 é 25%

-a probabilidade de a bola retirada ser amarela ou ter o numero 1 é 62,5%

Prove que a bola amarela com o numero 1 está no saco.

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 22:31

joaofonseca escreveu:Num saco existem 15 bolas.Cinco verdes, cinco amarelas e cinco brancas.As bolas da mesma cor estão numeradas de 1 a 5.

Agora suponha que no saco estão algumas das 15 bolas.Nestas novas condições, uma bola é retirada do saco.Sabemos que:

-a probabilidade de a bola retirada ser amarela é 50%

-a probabilidade de a bola retirada ter o número 1 é 25%

-a probabilidade de a bola retirada ser amarela ou ter o numero 1 é 62,5%

Prove que a bola amarela com o numero 1 está no saco.

Sejam os seguintes eventos:

A -- a bola é amarela;
N -- a bola tem número 1.

Dos conhecimentos sobre probabilidade, sabemos que:

$P(A\cup N) = P(A) + P(N) - P(A\cap N)$

Substituindo os dados do exercício, temos que:

$0,625 = 0,5 + 0,25 - P(A\cap N)$

$P(A\cap N) = 0,125$

Ou seja, a probabilidade da bola retirada ser amarela e ter o número 1 é igual a 12,5%. Como essa probabilidade é diferente de 0, temos que a bola amarela com o número 1 está no saco.

por **fraol** » Sáb Mar 03, 2012 23:10

De fato, como o professor demonstrou, $P(A \cap N) = P(A) . P(B) = 12,5%$ que é diferente de 0.
Com isso a probabilidade de que uma bola retirada seja Amarela e tenha o número 1 é de 12,5%.

Por outro lado se tivermos, por exemplo oito bolas no saco, quatro serão amarelas (50%) , digamos que numeradas de 2 a 5, e duas terão o número 1 (25%), digamos que seja uma verde e outra branca.

Eu havia pensado um pouco nesse problema e acho não há como provar propriamente o que foi pedido.

O que vocês acham?

por **LuizAquino** » Sáb Mar 03, 2012 23:40

fraol escreveu:De fato, como o professor demonstrou, $P(A \cap N) = P(A) . P(B) = 12,5%$ que é diferente de 0.
Com isso a probabilidade de que uma bola retirada seja Amarela e tenha o número 1 é de 12,5%.

Por outro lado se tivermos, por exemplo oito bolas no saco, quatro serão amarelas (50%) , digamos que numeradas de 2 a 5, e duas terão o número 1 (25%), digamos que seja uma verde e outra branca.

Eu havia pensado um pouco nesse problema e acho não há como provar propriamente o que foi pedido.

O que vocês acham?

O seu raciocínio tem um furo. Qual é a probabilidade da bola retirada ser amarela ou ter o número 1?

Você tem que armar um exemplo na qual essa probabilidade seja 62,5% (como informa no exercício), mas sem que haja a bola amarela de número 1.

No exemplo que você deu, temos que:
-- 4 bolas amarelas: com números de 2 até 5;
-- 1 bola verde: com o número 1;
-- 1 bola branca: com o número 1;

Você ainda precisa completar esse exemplo informando mais 2 bolas (já que o seu total era de 8). Agora tente completar de modo que aquela última probabilidade seja 62,5%, mas sem que haja a bola amarela de número 1.

por **fraol** » Sáb Mar 03, 2012 23:56

Tem razão, como sempre aliás.

Nesse caso 12,5%, $P(A \cap N)$ , do saco de oito bolas deveria ser de bolas amarelas e com o número 1. Ou seja uma bola. Então está provado.

Grato.

por **Guill** » Sáb Mar 17, 2012 14:00

Podemos tirar as seguintes informações:

* Temos 3 bolas com o número 1 escrito.
* Como a probabilidade de retirar uma bola amarela do saco é 50%, metade das bolas desse saco devem ser amarelas e portanto, não temos mais que 10 bolas no saco.
* Como a probabilidade de retirar uma bola com número 1 do saco é 25%, existem bolas com número 1 dentro do saco.

Agora, observe que a probabilidade de retirar uma bola amarela ou com número 1 do saco é 62,5% = 50% + 12,5%. Mas o correto seria que 75% fosse a probabilidade, o que não ocorre porque o número é menor. Isso quer dizer que existe um encontro, ou seja, existe uma bola que possui as duas características ao mesmo tempo, fazendo com que o número de amostras diminua.

Isso prova.