QUESTÃO DE PROPABILIDADE ...

por **marciabarbosa2** » Seg Jun 09, 2008 10:46

Caros colegas , mais um pepino...(pelo menos pra mim,rs)

Tenho uma amostra dividida em dez classes (nº de vitmas por Km em uma rodovia). O exercicio pede a probabilidade de se ter 3 pessoas acidentadas entre os quilometros 0 e 25 (primeiro intervalo da classe) e de 10 pessoas acidentadas entre os quilometros 50 e 75

No trecho 0 - 25, o numero total de vítimas foi 238.
No trecho 50 - 75 o numero total de vitimas foi 25
O total geral de nº de vitimas foi de 352, ou seja 68% foi dentro no trecho (0 - 25) e 6% no trecho (50 - 750

Como faço para calcular estas probabilidades? Devo levar em consideração o numero total de vitimas da amostra ou apenas trabalhar dentro de cada intervalo?

Por favor, ajudem-me!

Desde já agradecida

Márcia

por **admin** » Seg Jun 09, 2008 15:39

Olá Márcia, boa tarde!

Considerando que as probabilidades pedidas referem-se aos intervalos, acredito que você deva utilizar os totais de eventos possíveis também dos intervalos, para cada probabilidade. Se utilizar o total de vítimas da amostra, a probabilidade não terá relação com o intervalo.

por **marciabarbosa2** » Ter Jun 10, 2008 12:15

...e como faço isso?

por **admin** » Ter Jun 10, 2008 17:57

Olá Márcia!

Pelo que estudei, estou pensando da seguinte forma:

Utilizando probabilidades condicionais, associadas ao conectivo "e" do enunciado:

O exercicio pede a probabilidade de se ter
3 pessoas acidentadas entre os quilometros 0 e 25 (primeiro intervalo da classe)
"e"
de 10 pessoas acidentadas entre os quilometros 50 e 75.

Procuro calcular o seguinte:
$P(C_1 | A) \cdot P(C_2 | B) = ?$

Olhando separadamente:
$P(C_1 | A) = \frac{P(C_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{P(C_1)P(A|C_1)}{P(A)}$

$P(C_2 | B) = \frac{P(C_2 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(C_2)P(B|C_2)}{P(B)}$

Das informações que temos:
P(C_1) = 0,68

$P(A | C_1) = \frac{3}{238}$

$P(A | C_2) = \frac{3}{25}$

$P(A | C_3) = \frac{3}{89}$

$P(B | C_1) = \frac{10}{238} = \frac{5}{119}$

$P(B | C_2) = \frac{10}{25} = \frac25$

$P(B | C_3) = \frac{10}{89}$

...precisamos encontrar os valores de P(A)

e

(denominador), pois o numerador é conhecido.

Como o conjunto

por ser reescrito assim:
$A = (C_1 \cap A) \cup (C_2 \cap A) \cup (C_3 \cap A)$

A probabilidade será:
$P(A) = P(C_1 \cap A) + P(C_2 \cap A) + P(C_3 \cap A)$

P(A) = P(C_1)P(A|C_1) + P(C_2)P(A|C_2) + P(C_3)P(A|C_3)

O mesmo para P(B)

:

P(B) = P(C_1)P(B|C_1) + P(C_2)P(B|C_2) + P(C_3)P(B|C_3)

Márcia, vi que a generalização desta idéia resulta no teorema de Bayes, onde:

$\left{ C_1, C_2, \cdots, C_n \right}$ é uma partição do espação amostral $\Omega$ , ou seja, $C_i \cap C_j = \emptyset$ , sempre que $i \neq j$ . E $C_1 \cup C_2 \cup \cdots \cup C_n = \Omega$ .

Sendo um evento qualquer

em $\Omega$ , supondo conhecidas as probabilidades P(C_i)

e

, $i=1,2,\cdots, n$ , a probabilidade de ocorrênia do evento C_i

, supondo-se a ocorrência do evento

, é dada por:

$P(C_i | A) = \frac{ P(C_i) P(A | C_i)}{ \sum_{j=1}^{n} P(C_j)P(A|C_j)}$

para todo $i=1,2,\cdots, n$ .

Repare que ao desenvolvermos o cálculo direto pelo teorema, faremos a conta anterior da mesma forma:

$P(C_1 | A) = \frac{P(C_1)P(A|C_1)}{ P(C_1)P(A|C_1) + P(C_2)P(A|C_2) + P(C_3)P(A|C_3) }$

$P(C_2 | B) = \frac{P(C_2)P(B|C_2)}{ P(C_1)P(B|C_1) + P(C_2)P(B|C_2) + P(C_3)P(B|C_3) }$

Substituindo e fazendo as contas, eu obtive:
$P(C_1 | A) \cdot P(C_2 | B) \approx 0,35 \cdot 0,29 \approx 0,10$ .