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[Análise Combinatória] Dúvida

[Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Dom Abr 08, 2018 20:53

Olá. Peço a ajuda especializada para resolver uma questão de análise combinatória:

Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


O que eu tentei:
(1)
Primeiro, fiz a combinação sem considerar a regra (Araújo e Batista no mesmo grupo), encontrando o máximo de combinações possíveis:
Entre os soldados: \frac{10!}{3!\left(10-3 \right)!}=120

Segundo passo: calculei o número de combinações em que Araújo e Batista ficariam no mesmo grupo:
Entre os soldados:2*1*8=16

Considerando apenas os soldados, a diferença entre o total de possibilidades e as possibilidades em que ambos os soldados estão no mesmo grupo resulta em: 120-16=104
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 104*3=312

(2)
Considerei que Araújo e Batista fossem uma única pessoa: \frac{9!}{3!\left(9-6 \right)!}=84
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 84*3=252

-

Tendo em vista os resultados, ambos não estão entre as alternativas. Se alguém puder esclarecer esta questão, ficarei grato.
Бог не в силе, а в правде.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Qua Abr 11, 2018 02:31

Olá KleinIll!

KleinIll escreveu:Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216


Parece-me que não há dúvidas sobre o porquê de usarmos COMBINAÇÃO. Então, pensemos no seguinte: o grupo de visitantes deverá ser formado por um sargento e três soldados; assim, como dois deles não poderão estar juntos, temos as seguintes situações:

SITUAÇÃO I: Aráujo estará no grupo, mas Batista não.

Decisão 1 (d1): combinar três sargentos um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma vaga é do soldado Araújo, a grosso modo, podemos dizer que ele está fixado no grupo.

Daí, pelo PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


Analogamente,

SITUAÇÃO II: Batista estará no grupo, mas Araújo não.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados dois a dois, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}.

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma das vagas pertence ao soldado Batista.

Pelo PFC,

\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}


SITUAÇÃO III: Araújo e Batista não estão no grupo.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, \mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}};

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados três a três, \mathbf{n(d_2) = C_{8}^{3}}.

Assim, pelo PFC, teremos:

\\ \mathbf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{3} =} \\\\ \mathbf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!3!} =} \\\\\\ \mathbf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cot 5!}{5!3!} =} \\\\ \mathbf{3 \cdot (8 \cdot 7) =} \\\\ \fbox{\mathbf{168}}


Por fim, pelo PRINCÍPIO ADITIVO, concluímos que:

\\ \mathsf{84 + 84 + 168 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{336}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor KleinIll » Qua Abr 11, 2018 09:34

DanielFerreira, obrigado pelo retorno.

Sua resposta esclareceu as minhas dúvidas.
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Re: [Análise Combinatória] Dúvida

Mensagempor DanielFerreira » Sex Abr 13, 2018 00:24

Olá KleinIll!

Que bom!

Bons estudos!!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.