Olá
Russman! Pensei no seguinte:
Inicialmente, devemos encontrar o menor e o maior... São eles: 1023 e 6397.
Avaliemos as possibilidades... MILHAR.
(i) fixando o 1º algarismo e o último temos:
![\underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}}](/latexrender/pictures/c8b2fc716ed8ad45e472e6f7065ce063.png)
Mas, note que o último dígito poderá ser o 5, o 7 e o 9. Desse modo,
![\mathsf{56 \cdot 4 = 224} \mathsf{56 \cdot 4 = 224}](/latexrender/pictures/b5be626b2824dc9dcc238387c914949f.png)
.
(ii) fixando o 1º algarismo em 2, teremos:
![\underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}}](/latexrender/pictures/f1a2bbcb8e3908bb2bc4cae2492b6bda.png)
Mas, teremos também 3, 5, 7 e 9. Portanto,
![\mathsf{56 \cdot 5 = 280} \mathsf{56 \cdot 5 = 280}](/latexrender/pictures/76669427ebd58be0da261ff32e22781a.png)
.
(iii) fixando o 3 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de maneira análoga à (i). Com efeito, teremos 224 números.
(iv) fixando o 4 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de modo análogo ao item (ii), ou seja, 280.
(v) fixando o 5 na unidade de milhar... 224.
(vi) fixando o 6, devemos ficar atento ao máximo... Sendo assim, devemos esmiuçar as possibilidades. Segue,
![\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.} \\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.}](/latexrender/pictures/1678a2ee6b89068c7f5067ed37c45561.png)
![\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.} \\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.}](/latexrender/pictures/2dddb48209ae73029b7207b851964d7f.png)
![\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros} \\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros}](/latexrender/pictures/3d611f5fe2ef5157f373ff69e74ea61c.png)
Por fim, avaliamos
![\underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}](/latexrender/pictures/df643e96a3ef0c2c020590d080f39f30.png)
. Que, é o mesmo que
![\mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28} \mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28}](/latexrender/pictures/d3ab7224be4ea01968c12e9f07d31484.png)
.
Logo, temos que:
![\\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}} \\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}}](/latexrender/pictures/2894e4f08875358920bd978753f67ff0.png)
Tens o gabarito?
Até!