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[Análise combinatória] Questão de concurso

[Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor willmorais » Qua Fev 10, 2016 16:19

Boa tarde, não obtive exito ao tentar resolver a questão abaixo pelo princípio fundamental da contagem. Haverei de recorrer às fórmulas mesmo? Ou há uma alternativa mais fácil?

(UFES 2013) 15ª QUESTÃO - A quantidade de números inteiros positivos de 4 algarismos (não necessariamente distintos) que podem ser escritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, de modo que o algarismo 1 aparece em cada número, mas não é o algarismo final do número, é:
A) 455
B) 405
C) 505
D) 555
E) 605


Assim eu pensei: como não são necessariamente números distintos, posso repetir: 6x6x6x5, o algarismo 1 não pode ser usado na última casa, então não o considero. Mas como atender à restrição "de modo que o algarismo 1 aparece em cada número"?
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor DanielFerreira » Sex Fev 12, 2016 01:19

Olá Will, bom dia!

Pensei da seguinte forma:

- Fixemos em 1 a unidade de milhar, ou seja, 1XXX. A unidade das centenas poderá ser ocupada pelos 6 algarismos, a unidade da dezenas por 6 e a última apenas por 5 algarismos (excetuando o 1); portanto, temos: 1 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 180.

- Fixemos agora o 1 na unidade das centenas, isto é, X1XX. Repare que a primeira posição não poderá ser ocupada pelo dígito 1, pois iríamos contá-lo outra vez (já o contamos acima); isto posto, temos que a unidade de milhar poderá ser ocupada apenas por 5 algarismos, a unidade das centenas fora fixada, a unidade das dezenas poderá ser ocupada pelos 6 algarismos e a unidade apenas por 5; então, 5 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 = 150.

- Fixemos o 1 na posição das dezenas, aplicando o mesmo raciocínio chegamos a 5 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 5 = 125.

Somando os valores encontrados tiramos que a alternativa correcta é a opção a).

Se o gabarito for diferente do que encontrei não deixe de informar, ok?!

Até!!
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor willmorais » Sex Fev 12, 2016 18:43

Gabarito corretíssimo. Obrigado por compartilhar o raciocínio. :-D :y:
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor DanielFerreira » Sex Fev 12, 2016 21:14

Não há de quê meu caro!
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.