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[Análise combinatória] Questão de concurso

[Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor willmorais » Qua Fev 10, 2016 16:19

Boa tarde, não obtive exito ao tentar resolver a questão abaixo pelo princípio fundamental da contagem. Haverei de recorrer às fórmulas mesmo? Ou há uma alternativa mais fácil?

(UFES 2013) 15ª QUESTÃO - A quantidade de números inteiros positivos de 4 algarismos (não necessariamente distintos) que podem ser escritos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, de modo que o algarismo 1 aparece em cada número, mas não é o algarismo final do número, é:
A) 455
B) 405
C) 505
D) 555
E) 605


Assim eu pensei: como não são necessariamente números distintos, posso repetir: 6x6x6x5, o algarismo 1 não pode ser usado na última casa, então não o considero. Mas como atender à restrição "de modo que o algarismo 1 aparece em cada número"?
willmorais
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor DanielFerreira » Sex Fev 12, 2016 01:19

Olá Will, bom dia!

Pensei da seguinte forma:

- Fixemos em 1 a unidade de milhar, ou seja, 1XXX. A unidade das centenas poderá ser ocupada pelos 6 algarismos, a unidade da dezenas por 6 e a última apenas por 5 algarismos (excetuando o 1); portanto, temos: 1 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 180.

- Fixemos agora o 1 na unidade das centenas, isto é, X1XX. Repare que a primeira posição não poderá ser ocupada pelo dígito 1, pois iríamos contá-lo outra vez (já o contamos acima); isto posto, temos que a unidade de milhar poderá ser ocupada apenas por 5 algarismos, a unidade das centenas fora fixada, a unidade das dezenas poderá ser ocupada pelos 6 algarismos e a unidade apenas por 5; então, 5 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 5 = 150.

- Fixemos o 1 na posição das dezenas, aplicando o mesmo raciocínio chegamos a 5 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 5 = 125.

Somando os valores encontrados tiramos que a alternativa correcta é a opção a).

Se o gabarito for diferente do que encontrei não deixe de informar, ok?!

Até!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor willmorais » Sex Fev 12, 2016 18:43

Gabarito corretíssimo. Obrigado por compartilhar o raciocínio. :-D :y:
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Re: [Análise combinatória] Questão de concurso

Mensagempor DanielFerreira » Sex Fev 12, 2016 21:14

Não há de quê meu caro!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?