[Análise Combinatória] Combinações Completas

por **Pessoa Estranha** » Seg Mai 04, 2015 00:00

Olá, preciso de ajuda para resolver a seguinte questão:

Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z < 10

?

Minha solução:

Como queremos soluções inteiras positivas, então as variáveis devem receber valores inteiros estritamente maiores do que zero. Logo, devem ser maiores ou iguais a 1. Assim, por exemplo, x ? 1 => x – 1 ? 0. Portanto, a inequação dada pode ser substituída por: a + b + c < 7, onde a = x – 1, b = y – 1, c = z – 1 são variáveis não-negativas. Como ainda é uma desigualdade, basta colocarmos uma variável de folga f. Assim, a + b + c + f = 7. Agora, podemos seguir a mesma ideia do esquema de "traço-bola". Vamos permutar 3 “traços” e 7 “bolas”. Logo, temos (10!)/((3!)(7!)) = 120 soluções.

A resposta certa é 84.

Por que a minha solução está errada? Onde errei?

Muito Obrigada!

Website · por **alexandre_de_melo** » Qua Jul 29, 2015 11:57

Se x+y+z<10 então x+y+z <= 9 ,e logo,
substituindo, x-1=a, y-1=b, z-1=c, teremos
a+b+c <=6 ,e logo,
usando f como folga, teremos
a+b+c+f=6 e logo
$\left( ^9 _6 \right)=84$

Linda resolução, né!??!?!
Grande abraço pra ti!!!! Fuiiiiiiiiii!!!!!

por **adauto martins** » Sex Set 20, 2019 16:47

o numero das soluçoes da inequaçao
$x+y+z\prec 10$
seja w,tal que:
$x+y+z+w=10...{c}_{(10+4-1,4)}=13!/(4!.9!)=...$

por **adauto martins** » Sex Set 20, 2019 17:14

correçao:
as combinaçoes completas(combinaçao com elementos distintos ou nao,com repetiçoes)
${x}_{1}+...+{x}_{n}=p\Rightarrow {c}_{(n+p-1,p)}=(n+p-1)!/(p!.(n-1)!)$ ,demonstrarei tal fato mais a frente...em nosso caso,errei o dados,logo:
$x+y+z+w=10\Rightarrow {c}_{(4+10-1,10)}=13!/(10!.3!)=(13*12*11)/6=286$

por **adauto martins** » Sex Set 20, 2019 17:39

mais uma correçao:
o pedido do problema sao as soluçoes positivas.as que calculei sao as soluçoes inteiras e nao-negativas,caso que considera as soluçoes contendo "zeros" nas p-uplas.nesse caso as soluçoes sao dadas por:
${c}_{(n-1),(p-1)}=(n-1)!/((p-1)!.(n-p)!) \Rightarrow {c}_{(10-1,4}=(10-1)!/((4-1)!.(10-4)!)=9!/(3!.6!)=9*8*7/6=84$
...obrigado

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