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Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Mensagempor Dalia96 » Ter Abr 21, 2015 13:39

Poderia alguém me dizer como chegar na fórmula da soma:
Sn=1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6

Agradeço!
Dalia96
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Re: Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Mensagempor alexandre_de_melo » Qua Jul 29, 2015 22:11

PRIMEIRA FORMA

(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1 \Rightarrow (1+1)^3-1^3=3*1^2+3*1+1

(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*1+1 \Rightarrow (2+1)^3-2^3=3*2^2+3*2+1

.
.
.


(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1 \Rightarrow (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

teremos então:
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
.
.
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

Somando o primeiro membro das equações acima, obteremos (n+1)^3-1^3.
Somando o segundo membro, obteremos \sum_{i=1}^{n}(3*i^2+3*i+1)= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n
Igualando os dois membros, teremos :
(n+1)^3-1^3= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n, e logo,
(n+1)^3-1^3-3\sum_{i=1}^{n}i-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2. Desenvolvendo,
(n+1)^3-1-3*\frac{(n+1)*n}{2}-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2.
Desenvolvendo o primeiro membro, simplificando e dividindo por 3, obteremos \sum_{i=1}^{n}i^2

Ufffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!!

SEGUNDA MANEIRA:

\sum_{i=1}^{n}i^2=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i-i)
=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)+\sum_{i=1}^{n}(-i)=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}[i(i+1)]-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)- \frac{(n+1)n}{2}
Usando o teorema de colunas(triângulo de Pascal), temos:
=\left(^{n+2} _3\right)- \frac{(n+1)n}{2}
E agora, é só desenvolver e simplificar essa contarada!!!! kkkkkk
Acho que já ajudei, né?!?!?!? Desculpe qualquer coisa e grande abraço!!! Fuiiiiii!!!!
alexandre_de_melo
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?