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Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Mensagempor Dalia96 » Ter Abr 21, 2015 13:39

Poderia alguém me dizer como chegar na fórmula da soma:
Sn=1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6

Agradeço!
Dalia96
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Re: Análise Combinatória (Principio da Indução Matemática)

Mensagempor alexandre_de_melo » Qua Jul 29, 2015 22:11

PRIMEIRA FORMA

(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1 \Rightarrow (1+1)^3-1^3=3*1^2+3*1+1

(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*1+1 \Rightarrow (2+1)^3-2^3=3*2^2+3*2+1

.
.
.


(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1 \Rightarrow (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

teremos então:
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
.
.
.
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1

Somando o primeiro membro das equações acima, obteremos (n+1)^3-1^3.
Somando o segundo membro, obteremos \sum_{i=1}^{n}(3*i^2+3*i+1)= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n
Igualando os dois membros, teremos :
(n+1)^3-1^3= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2+3\sum_{i=1}^{n}i+n, e logo,
(n+1)^3-1^3-3\sum_{i=1}^{n}i-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2. Desenvolvendo,
(n+1)^3-1-3*\frac{(n+1)*n}{2}-n= 3*\sum_{i=1}^{n}i^2.
Desenvolvendo o primeiro membro, simplificando e dividindo por 3, obteremos \sum_{i=1}^{n}i^2

Ufffffffffffffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!!!!!!

SEGUNDA MANEIRA:

\sum_{i=1}^{n}i^2=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i-i)
=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)+\sum_{i=1}^{n}(-i)=\sum_{i=1}^{n}(i^2+i)-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}[i(i+1)]-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)-\sum_{i=1}^{n}i
=\sum_{i=1}^{n}\left(^{i+1}_2\right)- \frac{(n+1)n}{2}
Usando o teorema de colunas(triângulo de Pascal), temos:
=\left(^{n+2} _3\right)- \frac{(n+1)n}{2}
E agora, é só desenvolver e simplificar essa contarada!!!! kkkkkk
Acho que já ajudei, né?!?!?!? Desculpe qualquer coisa e grande abraço!!! Fuiiiiii!!!!
alexandre_de_melo
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.