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por Zeh Edu » Seg Jan 06, 2014 20:12
Olá! Estou tendo dificuldade num exercício de combinatória tirado de um livro que apresenta as resoluções dos exercícios.
Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
Fiz dessa forma:
O algarismo das unidades pode ser 1; 3; 5; 7 e 9 . 5 opções.
O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315. Mas, o livro dá a resposta de 320 e mostra a seguinte solução:
O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos, o das centenas de 8 modos (deve ser diferente de zero e diferente do algarismo das unidades) e o das dezenas de 8 modos (deve ser diferente dos outros dois algarismos). Logo, a resposta é 5*8*8 = 320.
Eu entendi solução apresentada pelo livro, porém não consigo identificar o erro no meu raciocínio inicial; pois, apesar de ter tomado as restrições em ordem diferente, as segui conforme o enunciado pediu.
Obrigado pela ajuda.
PS. A quem possa interessar, o livro em questão é "Análise Combinatória e Probabilidade", dos autores Morgado, Pitombeira, Paulo Cezar e Fernandez da editora SBM.
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Zeh Edu
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por anderson_wallace » Seg Jan 06, 2014 20:51
Zeh Edu escreveu:O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315
Como vc já observou, o algarismo das centenas não pode ser zero, mas o da dezena pode, e aí é que está o erro. Nos casos em que o algarismo da dezena for 0, há 8 opções para o algarismo das centenas. É um erro bem sutil, mas vc pode evitá-lo se avaliar primeiro as ordens com mais restrições, assim como foi feito na resolução do livro.
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anderson_wallace
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por Zeh Edu » Ter Jan 07, 2014 00:48
Entendi agora, o algarismo da dezena apresenta um caso no qual o algarismo das centenas passa a apresentar 8 casos (ao invés de 9). Pelo meu raciocínio o correto seria considerar quando o algarismo das dezenas é zero e quando ele é diferente de zero, mas isso daria mais trabalho. Realmente, combinatória exige que se identifique bem as restrições.
Muito obrigado pela ajuda!
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Zeh Edu
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Álgebra Elementar
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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