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[Combinatória] Quantidade de números inteiros num intervalo.

[Combinatória] Quantidade de números inteiros num intervalo.

Mensagempor Zeh Edu » Seg Jan 06, 2014 20:12

Olá! Estou tendo dificuldade num exercício de combinatória tirado de um livro que apresenta as resoluções dos exercícios.

Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?

Fiz dessa forma:
O algarismo das unidades pode ser 1; 3; 5; 7 e 9 . 5 opções.
O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315. Mas, o livro dá a resposta de 320 e mostra a seguinte solução:

O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos, o das centenas de 8 modos (deve ser diferente de zero e diferente do algarismo das unidades) e o das dezenas de 8 modos (deve ser diferente dos outros dois algarismos). Logo, a resposta é 5*8*8 = 320.

Eu entendi solução apresentada pelo livro, porém não consigo identificar o erro no meu raciocínio inicial; pois, apesar de ter tomado as restrições em ordem diferente, as segui conforme o enunciado pediu.

Obrigado pela ajuda.
PS. A quem possa interessar, o livro em questão é "Análise Combinatória e Probabilidade", dos autores Morgado, Pitombeira, Paulo Cezar e Fernandez da editora SBM.
Zeh Edu
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Re: [Combinatória] Quantidade de números inteiros num interv

Mensagempor anderson_wallace » Seg Jan 06, 2014 20:51

Zeh Edu escreveu:O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315


Como vc já observou, o algarismo das centenas não pode ser zero, mas o da dezena pode, e aí é que está o erro. Nos casos em que o algarismo da dezena for 0, há 8 opções para o algarismo das centenas. É um erro bem sutil, mas vc pode evitá-lo se avaliar primeiro as ordens com mais restrições, assim como foi feito na resolução do livro.
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Re: [Combinatória] Quantidade de números inteiros num interv

Mensagempor Zeh Edu » Ter Jan 07, 2014 00:48

Entendi agora, o algarismo da dezena apresenta um caso no qual o algarismo das centenas passa a apresentar 8 casos (ao invés de 9). Pelo meu raciocínio o correto seria considerar quando o algarismo das dezenas é zero e quando ele é diferente de zero, mas isso daria mais trabalho. Realmente, combinatória exige que se identifique bem as restrições.

Muito obrigado pela ajuda!
Zeh Edu
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.