[Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 11/11

por **eduardoferreira** » Sáb Nov 10, 2012 23:39

Distribui-se 14 moedas entre 4 meninos e 5 meninas, de modo que cada uma das meninas receba pelo menos duas moedas. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Eu tentei fazer assim:

$(C^{6}_{1} + C^{6}_{2} + C^{6}_{3} + C^{6}_{4} + C^{6}_{5} + C^{6}_{6}) \times C^{6}_{9}$

onde

$C^{6}_{1} = \dfrac {6!} {1!\times (6-1)!} = \dfrac {6!} {1!\times 5!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {1\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{1} = 6$

$C^{6}_{2} = \dfrac {6!} {2!\times (6-2)!} = \dfrac {6!} {2!\times 4!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {2\times 1\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{2} = 15$

$C^{6}_{3} = \dfrac {6!} {3!\times (6-3)!} = \dfrac {6!} {3!\times 3!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {3\times 2\times 1\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{3} = 20$

$C^{6}_{4} = \dfrac {6!} {4!\times (6-4)!} = \dfrac {6!} {4!\times 2!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {4\times 3\times 2\times 1\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{4} = 15$

$C^{6}_{5} = \dfrac {6!} {5!\times (6-5)!} = \dfrac {6!} {5!\times 1!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1\times} \Rightarrow C^{6}_{5} = 6$

$C^{6}_{6} = \dfrac {6!} {6!\times (6-6)!} = \dfrac {6!} {6!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{6} = 1$

Cuja soma é 6+15+20+15+6+1 = 63

Mas, a hora em que eu vou fazer $63\times C^{6}_{9}$ , tenho problema ao tentar encontrar $C^{6}_{9}$ , pois 6-9=-3

, então não consigo resolver. como eu devo fazer?

Me ajudem, por favor, pois essa tarefa é pra amanhã, dia 11 de novembro de 2012

OBRIGADO

por **young_jedi** » Dom Nov 11, 2012 09:35

cara eu pensei assim

como voce tem que cada menina tem que receber pelo menos duas moedas então eu retiro dez moedas das 14 e reparto entre as meninas cada uma com duas moedas então me sobram 4 moedas que podem ser distribuidas entre nove pessoas
então

$C_4^9=\frac{9!}{4!5!}=\frac{9.8.6.7}{4.3.2}=126$

por **eduardoferreira** » Dom Nov 11, 2012 09:43

Muito obrigado

por **young_jedi** » Dom Nov 11, 2012 10:21

eduardoferreira

acho que cometi um pequeno erro na minha resolução
na hora de distribuir as moedas entre as nove pessoas eu nao atentei para o fato de que uma pessoa pode receber mais de uma moeda, me desculpe.

então é o seguinte
as quatro moedas podem estar divididas em
1 gupo de quatro moedas=1gupo
1 grupo de 3 moedas e 1 grupo de 1 moeda=2gupos diferentes
2 grupos de duas moedas=2grupos iguais
1 gupo de 2 moedas e 2 gupos de 1 moeda=3grupos(sendo dois iguais e um diferente)
4 grupos de 1 moeda=4 grupos iguais

então o total de combinações sera a distribuiçao desses grupos entre a nove pessoas

$9+9.8+C_{2}^{9}+9.C_{2}^{8}+C_{4}^{9}=9+72+36+9.28+126=495$

por **eduardoferreira** » Dom Nov 11, 2012 12:43

young_jedi, eu também cometi um erro, só que no enunciado

São 5 meninos e 4 meninas, 14 moedas e no mínimo duas moedas pra cada menina

Outra coisa, voce poderia me explicar essa passagem aqui, com os valores que lhe passei agora? Te confesso que não entendi.
"Então o total de combinações sera a distribuiçao desses grupos entre a nove pessoas"

$9+9.8+C_{2}^{9}+9.C_{2}^{8}+C_{4}^{9}=9+72+36+9.28+126=495$

por **young_jedi** » Dom Nov 11, 2012 15:10

neste caso então 2.4=8 então 14-8=6, sendo assim temos que distribuir 6 moedas entre oito pessoas

podemos ter as moedas sepradas em grupos, com quantidades diferentes de moedas,1,2,3,4,5,6

1 caso: 1 1 1 1 1 1=seis grupos iguais
2 caso: 2 1 1 1 1=4 gupos iguais e 1 diferente
3 caso: 2 2 1 1= 2 grupos diferentes
4 caso: 2 2 2 = 3 grupos igauis
5 caso: 3 1 1 1 = 3 grupos igauis e 1 diferente
6 caso: 3 2 1= 3 grupos diferentes
7 caso: 3 3 = 2 grupos iguais
8 caso: 4 1 1 = 2 grupos igauis e 1 diferente
9 caso: 4 2 = 2 gruos diferentes
10 caso: 5 1 = dois grupos dierentes
11 caso: 6 = 1 grupos

se os grupos são igauis eu tenho que fazer a combinação deles com o numero de pessoas, se são diferentes tenho que fazer o arranjo deles

1 caso:
no primeiro caso seis grupos iguais

C_6^9=84

2 caso
no segundo caso pro primeiro grupo eu tenho 9 possibilidades, então sobram 8 possiblidades para os 4 outros grupos sendo que eu tenho que fazer a combinação deles em oito pois os grupos sao iguais

9.C_4^8

3 caso
para os dois primeiros grupos eu tenho que fazer a combinação deles em 9 e para os outros 2 grupos sobrma 7 possibilidades para que eles sejam combinadas entre elas

C_2^9.C_2^7

4 caso:
para o proximo como os grupos são iguais eu tres grupos distribuido em 9 pessoas

C_3^9

5 caso:
para o grupo de 3 eu tenho a possivilidade de 9 pessoas, para os outro 3 grupos restam a possivilidade de 8 pessoas sendo que eu devo fazer a combinação deles entre essas 8 pessoas

9.C_3^8

6 caso:
no proximo caso eu tenho tres grupos diferentes então as possibilidades são

9.8.7

7 caso:
neste caso eu tenho que são dois grupos diferentes para 9 pessoas então é simplesmente a combinação

C_2^9

8 caso:
para este caso para o grupo diferente eu tenho 9 possibilidade de pessoas, para os outros dois grupos que são iguais eu posso combina-los entre 8 pessoas então

9.C_2^8

9 caso:
neste caso eu tenho simplesmente a combinação de 2 grupos diferentes entre 9 pessoas

9.8

10 caso:
neste caso tambem tenho a combinação de 2 grupos diferentes entre 9 pessoas

9.8

11 caso:
neste caso tenho apenas um grupo que tem a possibilidade de 9 pessoas

a soma dos 11 casos vai dar o total de possibilidades

por **eduardoferreira** » Dom Nov 11, 2012 21:40

Só tenho uma pergunta pra você. Dá uma quantidade enorme de possibilidades né?

por **young_jedi** » Seg Nov 12, 2012 09:34

dá sim uma quantidade muito grande, claculando tudo e somando vai dar bastante, num terminei de fazer tudo pq to com um pouco de preça:

C_6^9+9.C_4^8+C_2^9.C_2^7+C_3^9+9.C_3^8+9.8.7+C_2^9+C_2^8+9.8+9.8+9=

C_6^9+9.C_4^8+C_2^9.C_2^7+C_3^9+9.C_3^8+9.8.7+C_2^9+C_2^8+9.8+9.8+9=

84+9.70+36.21+84+9.56+9.56+36+28+72+72+9=2779

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