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[Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 11/11

[Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 11/11

Mensagempor eduardoferreira » Sáb Nov 10, 2012 23:39

Distribui-se 14 moedas entre 4 meninos e 5 meninas, de modo que cada uma das meninas receba pelo menos duas moedas. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Eu tentei fazer assim:

(C^{6}_{1} + C^{6}_{2} + C^{6}_{3} + C^{6}_{4} + C^{6}_{5} + C^{6}_{6}) \times C^{6}_{9}

onde

C^{6}_{1} = \dfrac {6!} {1!\times (6-1)!} = \dfrac {6!} {1!\times 5!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {1\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{1} = 6

C^{6}_{2} = \dfrac {6!} {2!\times (6-2)!} = \dfrac {6!} {2!\times 4!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {2\times 1\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{2} = 15

C^{6}_{3} = \dfrac {6!} {3!\times (6-3)!} = \dfrac {6!} {3!\times 3!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {3\times 2\times 1\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{3} = 20

C^{6}_{4} = \dfrac {6!} {4!\times (6-4)!} = \dfrac {6!} {4!\times 2!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {4\times 3\times 2\times 1\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{4} = 15

C^{6}_{5} = \dfrac {6!} {5!\times (6-5)!} = \dfrac {6!} {5!\times 1!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 1\times} \Rightarrow C^{6}_{5} = 6

C^{6}_{6} = \dfrac {6!} {6!\times (6-6)!} = \dfrac {6!} {6!} = \dfrac {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} {6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} \Rightarrow C^{6}_{6} = 1

Cuja soma é 6+15+20+15+6+1 = 63

Mas, a hora em que eu vou fazer 63\times C^{6}_{9}, tenho problema ao tentar encontrar C^{6}_{9}, pois 6-9=-3, então não consigo resolver. como eu devo fazer?

Me ajudem, por favor, pois essa tarefa é pra amanhã, dia 11 de novembro de 2012

OBRIGADO
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor young_jedi » Dom Nov 11, 2012 09:35

cara eu pensei assim

como voce tem que cada menina tem que receber pelo menos duas moedas então eu retiro dez moedas das 14 e reparto entre as meninas cada uma com duas moedas então me sobram 4 moedas que podem ser distribuidas entre nove pessoas
então

C_4^9=\frac{9!}{4!5!}=\frac{9.8.6.7}{4.3.2}=126
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor eduardoferreira » Dom Nov 11, 2012 09:43

Muito obrigado
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor young_jedi » Dom Nov 11, 2012 10:21

eduardoferreira

acho que cometi um pequeno erro na minha resolução
na hora de distribuir as moedas entre as nove pessoas eu nao atentei para o fato de que uma pessoa pode receber mais de uma moeda, me desculpe.

então é o seguinte
as quatro moedas podem estar divididas em
1 gupo de quatro moedas=1gupo
1 grupo de 3 moedas e 1 grupo de 1 moeda=2gupos diferentes
2 grupos de duas moedas=2grupos iguais
1 gupo de 2 moedas e 2 gupos de 1 moeda=3grupos(sendo dois iguais e um diferente)
4 grupos de 1 moeda=4 grupos iguais

então o total de combinações sera a distribuiçao desses grupos entre a nove pessoas

9+9.8+C_{2}^{9}+9.C_{2}^{8}+C_{4}^{9}=9+72+36+9.28+126=495
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor eduardoferreira » Dom Nov 11, 2012 12:43

young_jedi, eu também cometi um erro, só que no enunciado

São 5 meninos e 4 meninas, 14 moedas e no mínimo duas moedas pra cada menina

Outra coisa, voce poderia me explicar essa passagem aqui, com os valores que lhe passei agora? Te confesso que não entendi.
"Então o total de combinações sera a distribuiçao desses grupos entre a nove pessoas"

9+9.8+C_{2}^{9}+9.C_{2}^{8}+C_{4}^{9}=9+72+36+9.28+126=495
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor young_jedi » Dom Nov 11, 2012 15:10

neste caso então 2.4=8 então 14-8=6, sendo assim temos que distribuir 6 moedas entre oito pessoas

podemos ter as moedas sepradas em grupos, com quantidades diferentes de moedas,1,2,3,4,5,6

1 caso: 1 1 1 1 1 1=seis grupos iguais
2 caso: 2 1 1 1 1=4 gupos iguais e 1 diferente
3 caso: 2 2 1 1= 2 grupos diferentes
4 caso: 2 2 2 = 3 grupos igauis
5 caso: 3 1 1 1 = 3 grupos igauis e 1 diferente
6 caso: 3 2 1= 3 grupos diferentes
7 caso: 3 3 = 2 grupos iguais
8 caso: 4 1 1 = 2 grupos igauis e 1 diferente
9 caso: 4 2 = 2 gruos diferentes
10 caso: 5 1 = dois grupos dierentes
11 caso: 6 = 1 grupos

se os grupos são igauis eu tenho que fazer a combinação deles com o numero de pessoas, se são diferentes tenho que fazer o arranjo deles

1 caso:
no primeiro caso seis grupos iguais

C_6^9=84

2 caso
no segundo caso pro primeiro grupo eu tenho 9 possibilidades, então sobram 8 possiblidades para os 4 outros grupos sendo que eu tenho que fazer a combinação deles em oito pois os grupos sao iguais

9.C_4^8

3 caso
para os dois primeiros grupos eu tenho que fazer a combinação deles em 9 e para os outros 2 grupos sobrma 7 possibilidades para que eles sejam combinadas entre elas

C_2^9.C_2^7

4 caso:
para o proximo como os grupos são iguais eu tres grupos distribuido em 9 pessoas

C_3^9

5 caso:
para o grupo de 3 eu tenho a possivilidade de 9 pessoas, para os outro 3 grupos restam a possivilidade de 8 pessoas sendo que eu devo fazer a combinação deles entre essas 8 pessoas

9.C_3^8

6 caso:
no proximo caso eu tenho tres grupos diferentes então as possibilidades são

9.8.7

7 caso:
neste caso eu tenho que são dois grupos diferentes para 9 pessoas então é simplesmente a combinação

C_2^9

8 caso:
para este caso para o grupo diferente eu tenho 9 possibilidade de pessoas, para os outros dois grupos que são iguais eu posso combina-los entre 8 pessoas então

9.C_2^8

9 caso:
neste caso eu tenho simplesmente a combinação de 2 grupos diferentes entre 9 pessoas

9.8

10 caso:
neste caso tambem tenho a combinação de 2 grupos diferentes entre 9 pessoas

9.8

11 caso:
neste caso tenho apenas um grupo que tem a possibilidade de 9 pessoas

9

a soma dos 11 casos vai dar o total de possibilidades
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor eduardoferreira » Dom Nov 11, 2012 21:40

Só tenho uma pergunta pra você. Dá uma quantidade enorme de possibilidades né?
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Re: [Análise Combinatória] - me ajude, preciso pra amanhã, 1

Mensagempor young_jedi » Seg Nov 12, 2012 09:34

dá sim uma quantidade muito grande, claculando tudo e somando vai dar bastante, num terminei de fazer tudo pq to com um pouco de preça:

C_6^9+9.C_4^8+C_2^9.C_2^7+C_3^9+9.C_3^8+9.8.7+C_2^9+C_2^8+9.8+9.8+9=

84+9.70+36.21+84+9.56+9.56+36+28+72+72+9=2779
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D


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