[Análise Combinatória] Dúvida

por **KleinIll** » Dom Abr 08, 2018 20:53

Olá. Peço a ajuda especializada para resolver uma questão de análise combinatória:

Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216

O que eu tentei:
(1)
Primeiro, fiz a combinação sem considerar a regra (Araújo e Batista no mesmo grupo), encontrando o máximo de combinações possíveis:
Entre os soldados: $\frac{10!}{3!\left(10-3 \right)!}=120$

Segundo passo: calculei o número de combinações em que Araújo e Batista ficariam no mesmo grupo:
Entre os soldados: 2*1*8=16

Considerando apenas os soldados, a diferença entre o total de possibilidades e as possibilidades em que ambos os soldados estão no mesmo grupo resulta em: 120-16=104

Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 104*3=312

(2)
Considerei que Araújo e Batista fossem uma única pessoa: $\frac{9!}{3!\left(9-6 \right)!}=84$
Considerando a combinação entre os sargentos e soldados: 84*3=252

-

Tendo em vista os resultados, ambos não estão entre as alternativas. Se alguém puder esclarecer esta questão, ficarei grato.

por **DanielFerreira** » Qua Abr 11, 2018 02:31

Olá KleinIll!

KleinIll escreveu:Em um projeto de visita a escolas do batalhão, estão envolvidos três sargentos e dez soldados. Para uma visita, é formado um grupo com um sargento e três soldados; porém, devido às atividades do quartel, os soldados Araújo e Batista não poderão estar no mesmo grupo. Dessa forma, determine de quantas maneiras distintas pode-se formar esse grupo.

A) 24
B) 32
C) 132
D) 216

Parece-me que não há dúvidas sobre o porquê de usarmos COMBINAÇÃO. Então, pensemos no seguinte: o grupo de visitantes deverá ser formado por um sargento e três soldados; assim, como dois deles não poderão estar juntos, temos as seguintes situações:

SITUAÇÃO I: Aráujo estará no grupo, mas Batista não.

Decisão 1 (d1): combinar três sargentos um a um, $\mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}}$ ;

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados dois a dois, $\mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}$

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma vaga é do soldado Araújo, a grosso modo, podemos dizer que ele está fixado no grupo.

Daí, pelo PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO,

$\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}$

Analogamente,

SITUAÇÃO II: Batista estará no grupo, mas Araújo não.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, $\mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}}$ ;

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados dois a dois, $\mathbf{n(d_2) = C_{8}^{2}}$ .

Obs.: na decisão 2, temos 8 soldados e duas vagas, pois uma das vagas pertence ao soldado Batista.

Pelo PFC,

$\\ \mathsf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{2} =} \\\\ \mathsf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 2)!2!} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6!2!} =} \\\\ \mathsf{3 \cdot (4 \cdot 7) =} \\\\ \boxed{\mathsf{84}}$

SITUAÇÃO III: Araújo e Batista não estão no grupo.

Decisão 1 (d1): combinar, entre si, três sargentos tomados um a um, $\mathbf{n(d_1) = C_{3}^{1}}$ ;

Decisão 2 (d2): combinar, entre si, oito soldados tomados três a três, $\mathbf{n(d_2) = C_{8}^{3}}$ .

Assim, pelo PFC, teremos:

$\\ \mathbf{C_{3}^{1} \cdot C_{8}^{3} =} \\\\ \mathbf{\frac{3!}{(3 - 1)!1!} \cdot \frac{8!}{(8 - 3)!3!} =} \\\\\\ \mathbf{\frac{3 \cdot 2!}{2!} \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cot 5!}{5!3!} =} \\\\ \mathbf{3 \cdot (8 \cdot 7) =} \\\\ \fbox{\mathbf{168}}$

Por fim, pelo PRINCÍPIO ADITIVO, concluímos que:

$\\ \mathsf{84 + 84 + 168 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{336}}}$