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[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

[Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor Russman » Ter Out 25, 2016 14:41

Problema:

"Quantos números ímpares de 4 algarismos diferentes e menores do que 6400 podem ser formados com os algarismos do sistema decimal de numeração?"



Amigos, alguém sugere uma solução segura para este problema? Estou enfrentando certa dificuldade de listar as possibilidades.

Obrigado!
"Ad astra per aspera."
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Re: [Princípio Fundamental da Contagem] Números ímpares.

Mensagempor DanielFerreira » Dom Nov 06, 2016 22:36

Olá Russman! Pensei no seguinte:

Inicialmente, devemos encontrar o menor e o maior... São eles: 1023 e 6397.

Avaliemos as possibilidades... MILHAR.

(i) fixando o 1º algarismo e o último temos:

\underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{3}}

Mas, note que o último dígito poderá ser o 5, o 7 e o 9. Desse modo, \mathsf{56 \cdot 4 = 224}.


(ii) fixando o 1º algarismo em 2, teremos:

\underline{\mathsf{2}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{8 \cdot 7 = 56}} \cdot \underline{\mathsf{1}}

Mas, teremos também 3, 5, 7 e 9. Portanto, \mathsf{56 \cdot 5 = 280}.


(iii) fixando o 3 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de maneira análoga à (i). Com efeito, teremos 224 números.


(iv) fixando o 4 na unidade de milhar, a quantidade de números será calculada de modo análogo ao item (ii), ou seja, 280.


(v) fixando o 5 na unidade de milhar... 224.


(vi) fixando o 6, devemos ficar atento ao máximo... Sendo assim, devemos esmiuçar as possibilidades. Segue,

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{0}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Entretanto, \ na \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ temos} \\\\ \mathsf{1, 3, 5, 7, 9. \ Ou \ seja, \ 5 \cdot 7 = 35.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{1}} \cdot \underbrace{\underline{\mathsf{?}}}_{\mathsf{7}} \cdot \underline{\mathsf{3}}. \quad \mathsf{Todavia, \ \acute{u}ltima \ posi\c{c}\~ao \ pode \ ser \ ocupada \ por} \\\\ \mathsf{3, 5, 7, 9. \ Isto \ \acute{e}, \ 4 \cdot 7 = 28.}

\\ \bullet \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{2}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. \quad \mathsf{Temos \ tamb\acute{e}m \ 35 \ n\acute{u}meros}

Por fim, avaliamos \underline{\mathsf{6}} \cdot \underline{\mathsf{3}} \cdot \underline{\mathsf{?}} \cdot \underline{\mathsf{1}}. Que, é o mesmo que \mathsf{4 \cdot 7 (1, 5, 7, 9) = 28}.


Logo, temos que:

\\ \mathsf{224 + 280 + 224 + 280 + 224 + 35 + 28 + 35 + 28 =} \\\\ \boxed{\mathsf{1358}}

Tens o gabarito?

Até!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

Qual as suas dúvidas?

O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59