[Combinatória] Quantidade de números inteiros num intervalo.

[Zeh Edu]

Olá! Estou tendo dificuldade num exercício de combinatória tirado de um livro que apresenta as resoluções dos exercícios.

Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?

Fiz dessa forma:
O algarismo das unidades pode ser 1; 3; 5; 7 e 9 . 5 opções.
O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315. Mas, o livro dá a resposta de 320 e mostra a seguinte solução:

O algarismo das unidades pode ser escolhido de 5 modos, o das centenas de 8 modos (deve ser diferente de zero e diferente do algarismo das unidades) e o das dezenas de 8 modos (deve ser diferente dos outros dois algarismos). Logo, a resposta é 5*8*8 = 320.

Eu entendi solução apresentada pelo livro, porém não consigo identificar o erro no meu raciocínio inicial; pois, apesar de ter tomado as restrições em ordem diferente, as segui conforme o enunciado pediu.

Obrigado pela ajuda.
PS. A quem possa interessar, o livro em questão é "Análise Combinatória e Probabilidade", dos autores Morgado, Pitombeira, Paulo Cezar e Fernandez da editora SBM.

[anderson_wallace]

O algarismo das dezenas pode ser qualquer número entre 0 e 9 menos o algarismo das unidades. 9 opções.
O algarismo das centenas pode ser qualquer número entre 1 e 9 menos os algarismos da dezena e da unidade. 7 opções.
Assim, temos que: 5*9*7 = 315

Como vc já observou, o algarismo das centenas não pode ser zero, mas o da dezena pode, e aí é que está o erro. Nos casos em que o algarismo da dezena for 0, há 8 opções para o algarismo das centenas. É um erro bem sutil, mas vc pode evitá-lo se avaliar primeiro as ordens com mais restrições, assim como foi feito na resolução do livro.

[Zeh Edu]

Entendi agora, o algarismo da dezena apresenta um caso no qual o algarismo das centenas passa a apresentar 8 casos (ao invés de 9). Pelo meu raciocínio o correto seria considerar quando o algarismo das dezenas é zero e quando ele é diferente de zero, mas isso daria mais trabalho. Realmente, combinatória exige que se identifique bem as restrições.

Muito obrigado pela ajuda!